Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di
mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari
variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak
diketahui ini adalah
fungsi riil atau fungsi kompleks,
namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih
jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde
tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam
persamaan tersebut.
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial
untuk gerakan partikel dengan
massa konstan m. Pada umumnya, gaya F tergantung kepada posisi partikel
x(t) pada waktu
t, dan demikian fungsi yang tidak diketahui
x(t) muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi
F(
x(
t)).
Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan
persamaan diferensial parsial, yang melibatkan turunan parsial dari beberapa variabel.
Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk
geometri, mekanika, astronomi dan pemodelan populasi. Banyak
matematikawan ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk Isaac Newton, Gottfried Leibniz, keluarga Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert dan Euler.
Dalam kasus persamaan tersebut
linier,
persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik.
Malangnya, kebanyakan persamaan diferensial nonlinier, dan kecuali
sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran
dapat dicapai menggunakan komputer.
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku
diferensial parsial, yang dalam
matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu
fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa
variabel bebas,
dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP
digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang
melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk
oleh beberapa variabel, seperti penjalaran
suara dan
panas,
elektrostatika,
elektrodinamika, aliran
fluida,
elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam
ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan
waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki
formulasi matematika yang mirip satu sama lain.
Pengantar
Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah
di mana
u suatu fungsi tak diketahui dari
x dan
y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai
u(
x,
y) adalah tidak bergantung dari
x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah
di mana
f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel
y. Analogi dari
persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah
yang memiliki solusi
di mana
c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai
x).
Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan
diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi
solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi
sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum
tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada
syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi
dapat ditentukan jika
dispesifikasikan pada sebuah garis
.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar