tag:blogger.com,1999:blog-5369641709806785352024-02-18T21:53:21.882-08:00Pembelajaran MatematikaAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.comBlogger41125tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-48987590037885688332012-12-09T23:57:00.002-08:002012-12-09T23:57:57.393-08:00Prediksi UN Matematika SMA<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi UN Matematika SMA IPA 2013</span></b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">. Setelah sebelumnya saya memberikan beberapa contoh </span><b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-un-sma-2013.html"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi UN SMA 2013</span></a></b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">, kali ini kita akan lebih mengkhusus pada </span><u><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi UN Matematika SMA</span></u><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> untuk jurusan IPA. </span></div>
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7201776831609634936" name="more"></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sebagai salah satu mata
pelajaran yang dianggap sebagai momok, UN Matematika sering dianggap
begitu sulit oleh siswa. Wajar sih. Saya selaku guru matematika sendiri
merasakan betapa siswa mengalami berbagai kesulitan dalam memahami
materi pelajaran. Sebenarnya jika berbicara tentang kesulitan dalam
pembelajaran, ada 3 hal yang patut dicurigai sebagai penyebab, yaitu
sulitnya materi pelajaran, rendahnya motivasi belajar siswa atau metode
guru dalam pembelajaran yang tidak tepat.</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nah, untuk mengurangi efek sulitnya matematika tersebut, latihan mengerjakan soal </span><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-un-matematika-sma-ipa-2013.html">Prediksi UN Matematika SMA IPA 2013</a> </span></b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">akan membantu adik-adik sekalian untuk mampu mengerjakan ujian nanti dengan lebih tenang.</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Jangan khawatir, pemerintah berjanji bahwa </span><b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/kisi-kisi-skl-un-2013-2014.html"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Kisi-Kisi UN 2013</span></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> </span></b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">tidak
akan jauh berbeda dengan kisi-kisi ujian sebelumnya. Setidaknya jika
kita telah memahami semua materi yang disajikan dalam kisi-kisi UN tahun
sebelumnya, Insya Allah juga tidak akan mengalami kesulitan untuk
mengerjakan soal nanti. </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<h3 style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi UN Matematika SMA IPA 2013</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></h3>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi soal UN
Matematika SMA IPA 2013 dan Pembahasannya ini saya dapatkan dari salah
seorang guru matematika hebat di Jawa, beliau adalah Pak Anang, yang
blognya ada di http://pak-anang.blogspot.com. Saya hanya menjadi
perantara untuk penyampaian beberapa materi ujian nasional yang telah
beliau bahas. Kita berdoa semoga Allah memberikan kesehatan kepada
beliau sehingga nantinya tetap mampu berbagi materi pembelajaran
matematika yang menyenangkan.</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Oke, untuk mendownload </span><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Prediksi UN Matematika SMA IPA 2013 dan Pembahasan</span></b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">, silakan klik pada link-link di bawah ini :</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXRENRdEZRcl9TU09sS3R6bG44ako1UQ&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Soal Tryout UN Matematika SMA IPA 2013 (Part 1)</span></a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXeGVmVUR3SGFTYkc5YWlIb0x2bDNoUQ&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Soal Tryout UN Matematika SMA IPA 2013 (Part 2)</span></a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXS1FzNk5nalUwMXc&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Soal Tryout UN Matematika SMA IPA 2013 (Part 3)</span></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXZDQ1ZjgwMjctYmE3ZS00MjJkLTk2YWEtNTI2MmEwOTgzYjVi&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pembahasan Soal UN Matematika SMA 2013 (Part 1)</span></a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXZFZTZDFmTEJxYWM&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pembahasan Soal UN Matematika SMA 2013 (Part 2)</span></a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXVERmVF9GZ0xRUUdxb1FWeUN2c29tZw&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Kumpulan Arsip Soal UN Matematika IPA SMA</span></a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXUE5OMG4wUnpPblU&export=download&hl=sk" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA Terbaru</span></a></li>
</ul>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Semoga bermanfaat.
Jangan lupa untuk tetap bersemangat dalam belajar. Ala bisa karena
biasa, semakin sering adik-adik mengerjakan soal UN, semakin mudah
pengerjaan soal UN 2013 nantinya.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sumber : http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-un-matematika-sma-ipa-2013.html </span>
<div class="postmeta-secondary">
<span class="meta_categories">Posted in: <a href="http://yulies-math.blogspot.com/search/label/Soal%20SMA" rel="tag">Soal SMA</a></span>
</div>
<div class="post-footer">
</div>
<div class="blog-pager" id="blog-pager">
<span id="blog-pager-newer-link">
<a class="blog-pager-newer-link" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/prediksi-soal-un-matematika-smp-2013.html" id="Blog1_blog-pager-newer-link" title="Posting Lebih Baru">Posting Lebih Baru</a>
</span>
<span id="blog-pager-older-link">
<a class="blog-pager-older-link" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/laguterbaru.html" id="Blog1_blog-pager-older-link" title="Posting Lama">Posting Lama</a>
</span>
<a class="home-link" href="http://yulies-math.blogspot.com/">Beranda</a>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-54994374045286353562012-12-09T23:29:00.003-08:002012-12-09T23:48:08.841-08:00RPP SMA Matematika<h3 class="post-title entry-title" itemprop="name">
<br />
</h3>
<div class="post-header">
Berikut ini adalah perangkat mengajar yang terdiri dari : silabus, RPP,
Program Seemester, Program Tahunan, KKM, Pemetaan Standard Isi SK/KD
yang telah disusun menurut pendidikan berkarakter dan juga telah
dilengkapi dengan Eksplorasi, Elaborasi dan Konfirmasi. Bagi yang membutuhkan silakan download pada link :</div>
<br />
[1] SK-KD MATEMATIKA SMA………………………………………<a href="http://www.mediafire.com/?59obr9q0cn9f9vg" target="_blank">(DOWNLOAD) </a><br />
[2] PEMETAAN SK-KD MATEMATIKA SMA…………………….....<a href="http://www.mediafire.com/view/?tqj4psn4zwwyo8r" target="_blank">(DOWNLOAD)</a><br />
[3] SILABUS MATEMATIKA SMA…………………………………...<a href="http://www.mediafire.com/view/?zq6borxkkdv0nld" target="_blank">(DOWNLOAD) </a><br />
[4] RPP MATEMATIKA SMA………………………………………….<a href="http://www.mediafire.com/?89yenyx7b5a2uni" target="_blank">(DOWNLOAD)</a><br />
[5] PROGRAM SEMESTER MATEMATIKA SMA…….…………......<a href="http://www.mediafire.com/view/?2g6b1ledv6brtb8" target="_blank">(DOWNLOAD)</a><br />
[6] PROGRAM TAHUNAN MATEMATIKA SMA……….……….......<a href="http://www.mediafire.com/view/?kinxbbosfctz2zc" target="_blank">(DOWNLOAD)</a> <br />
[7] KKM MATEMATIKA SMA………………………………….……..<a href="http://www.mediafire.com/view/?zl94rhqbw2nrji6" target="_blank">(DOWNLOAD)</a><br />
<br />
<span style="color: #660000; font-family: Georgia,"Times New Roman",serif;">Semoga bermanfaat................. </span>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-32565983001629744062012-12-09T23:09:00.001-08:002012-12-09T23:23:42.244-08:00Pembelajaran Alat Peaga dalam Matematika<div id="header-wrapper" style="color: cyan;">
<div class="header section" id="header">
<div class="widget Header" id="Header1">
<div id="header-inner">
<div class="titlewrapper">
<h1 class="title">
<a href="http://yulies-math.blogspot.com/">matematika asik</a>
</h1>
</div>
<div class="descriptionwrapper">
<div class="description">
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="header section" id="header2">
</div>
</div>
<div class="span-24" style="color: cyan;">
<div class="menu-secondary-wrap">
<ul class="menus menu-secondary sf-js-enabled">
<li><a href="http://yulies-math.blogspot.com/">Home</a></li>
<li><a class="sf-with-ul" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#">Matematika SMP<span class="sf-sub-indicator"> »</span></a>
</li>
<li><a class="sf-with-ul" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#">Matematika<span class="sf-sub-indicator"> »</span></a>
</li>
<li><a class="sf-with-ul" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#">RPP<span class="sf-sub-indicator"> »</span></a>
</li>
<li><a href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#">Featured</a></li>
<li><a class="sf-with-ul" href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#">Soal<span class="sf-sub-indicator"> »</span></a>
</li>
<li><a href="http://yulies-math.blogspot.com/search/label/Music">music</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div style="color: black;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=536964170980678535" name="7094983588454516500"></a>
</div>
<h3 class="post-title entry-title" style="color: black;">
<a href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html">Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika</a>
</h3>
<div class="postmeta-primary" style="color: black;">
<span class="meta_date">09:04</span>
<span class="meta_author">mesa adrian</span>
<span class="meta_comments"><a href="http://yulies-math.blogspot.com/2012/12/alat-peraga-dalam-pembelajaran.html#comment-form">No comments</a></span>
</div>
<div style="color: black;">
Tahun 2007 penulis pernah mengampu matakuliah 'Media Pembelajaran
Matematika'. Salah satu topik bahasannya adalah : Alat Peraga dalam
Pembelajaran Matematika.</div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
Berikut PowerPointnya: <a href="http://www.ziddu.com/download/3085893/AlatPeragadalamPembelajaranMatematika.ppt.html">DOWNLOAD PPT</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
Beberapa
hasil dari kegiatan perkuliahan tersebut coba kami bagikan. Kami awali
dengan kegiatan pembelajaran dengan menggunakan alat peraga terstruktur.
Alat Peraga terstruktur yang dibahas beberapa di antaranya adalah:
Fraction Bar, Algebra Tile, Patern Block. Berikut contoh lembar kegiatan
hasil karya para mahasiswa (dengan bimbingan saya tentu saja,
he..he..).</div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
DOWNLOAD Lembar kegiatan:</div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
1. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085895/Fraction_bar1.pdf.html">FRACTION BAR</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
2. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085892/AlgebraTile1.pdf.html">ALGEBRA TILE 1</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
3. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085896/AlgebraTile2.pdf.html">ALGEBRA TILE 2</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
4. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085894/PatternBlocks1.pdf.html">PATERN BLOCKS 1</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
5. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085997/PatternBlocks2.pdf.html">PATERN BLOCKS 2</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
6. <a href="http://www.ziddu.com/download/3085998/Pencerminan.pdf.html">PENCERMINAN PATERN BLOCKS</a></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div style="color: black;">
Sumber : http://pmatandy.blogspot.com/search/label/Alat%20Peraga
</div>
<div class="postmeta-secondary" style="color: black;">
<span class="meta_categories">Posted in: <a href="http://yulies-math.blogspot.com/search/label/Media%20Pembelajaran" rel="tag">Media Pembelajaran</a></span>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-6583568134053797042012-12-09T23:00:00.002-08:002012-12-09T23:27:40.287-08:00Media Pembelajaran Matematika Flash<div>
<img alt="" class="alignleft" height="107" src="http://triyawahyu.student.umm.ac.id/files/2011/09/b_matematika-buat-anak.jpg" width="146" /><span style="color: yellow;"><b> </b></span><br />
<div style="color: black;">
<b>Komputer
adalah sebuah media pendukung pembelajaran yang sangat menarik, banyak
aplikasi komputer yang dapat dijadikan sebagai media pembelajaran
terutama pada mata pelajaran matematika. Ada beberapa media
pembelajaran dengan menggunakan Macromedia Flash yang dapat anda
DOWNLOAD pada link dibawah ini :</b></div>
</div>
<div style="color: black;">
<span id="more-1593"></span></div>
<div>
<br />
<ol>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921321/f0363cfc/bunga_majemuk.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Bunga Majemuk</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921316/457ffa9c/fungsi_eksponen.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Fungsi Eksponen</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921312/42123e85/fungsi_kuadrat.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Fungsi Kuadrat</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921306/5c64cbdd/kaidah_perkalian.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Kaidah Perkalian</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921298/6bdc37a4/komposisi_transformasi.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Komposisi Transformasi</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921291/12008f00/matriks.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Matriks</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921303/2c0e3f52/menggambar_bangun_ruang.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Menggambar Bangun Ruang</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921295/156d4b19/peluang.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Peluang</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921286/957f2be2/penarikan_kesimpulan.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Penarikan Kesimpulan</a></li>
<li><a href="http://www.4shared.com/file/67921282/9212effb/pers_garsing_lingkaran.html?dirPwdVerified=5c7864e3">Persamaan Garis Singgung Lingkaran</a></li>
</ol>
sumber : <a href="http://mediapembelajaranmatematika.blogspot.com/" target="_blank">di sini</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-17765730061645708082012-12-09T22:56:00.001-08:002012-12-09T22:56:16.192-08:00Pembelajaran Matematika dengan Video
<div id="container">
<div id="header">
<div class="div1">
<div class="div2">
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/corporate"><img alt="Kandel Webstore" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/data/egasing.png" title="Kandel Webstore" /></a>
</div>
<div class="div3">
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/special" style="background-image: url('catalog/view/theme/default/image/special.png');">Special Offers</a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=536964170980678535" style="background-image: url('catalog/view/theme/default/image/bookmark.png');">Bookmark</a><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/contact" style="background-image: url('catalog/view/theme/default/image/contact.png');">Contact</a><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/sitemap" style="background-image: url('catalog/view/theme/default/image/sitemap.png');">Sitemap</a></div>
<div class="div4">
<a class="selected" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=common/home" id="tab_home">Home</a>
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=account/login" id="tab_login">Log In</a>
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=account/account" id="tab_account">Account</a><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart" id="tab_cart">Basket</a><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/shipping" id="tab_checkout">Checkout</a></div>
<div class="div5">
<div class="center">
<div id="search">
<div class="div8">
Search: </div>
<div class="div9">
<input id="filter_keyword" style="color: #999999;" type="text" value="Keywords" />
</div>
<div class="div10">
<a class="button" href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=536964170980678535"><span>Go</span></a> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/search">Advanced Search</a></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column_left">
<div class="box">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/special.png" />Specials</div>
<div class="middle">
<table cellpadding="2" cellspacing="0" style="width: 100%;">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=172"><img alt="Novel "Perburuan Bintang Sirius" Bagian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/novel/AV_Kandel_Cover%20Novel_FINAL%20%28%20Bagian%201%20%29-01-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=172">Novel "Perburuan Bintang Sirius" Bagian I</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px; text-decoration: line-through;">Rp.85,000</span> <span style="color: red; font-size: 11px;">Rp.68,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=172" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=173"><img alt="Novel "Perburuan Bintang Sirius" Bagian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/novel/AV_Kandel_Cover%20Novel_FINAL%20%28%20Bagian%202%20%29-01-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=173">Novel "Perburuan Bintang Sirius" Bagian II</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px; text-decoration: line-through;">Rp.105,000</span> <span style="color: red; font-size: 11px;">Rp.84,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=173" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
<div class="box">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/category.png" />Categories</div>
<div class="middle" id="category">
<ul>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/category&path=45">Buku</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/category&path=36">CD Interaktif SD</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/category&path=41">CD Interaktif SMP</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/Novel">Novel</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/category&path=39"><b>Video Pembelajaran Matematika Gasing SD</b></a></li>
</ul>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
<div class="box">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/brands.png" />Brands</div>
<div class="middle" style="text-align: center;">
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
<div class="box">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/information.png" />Information</div>
<div class="middle" id="information">
<ul>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/Kandel%20PT">PT. Kandel</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/information&information_id=7">Proses Pemesanan</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/information&information_id=6">Kebijakan Harga</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/contact">Contact Us</a></li>
<li><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=information/sitemap">Site Map</a></li>
</ul>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
</div>
<div id="column_right">
<div class="box" id="module_cart">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/basket.png" />Shopping Cart</div>
<div class="middle">
<div style="text-align: center;">
0 items</div>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
<div class="box">
<div class="top">
<img alt="" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/catalog/view/theme/default/image/bestsellers.png" />Bestsellers</div>
<div class="middle">
<table cellpadding="2" cellspacing="0" style="width: 100%;">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=138"><img alt="Menjadi Juara Olimpiade" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/cover%20buku%20%20Menjadi%20juara%20Olimpiade_resize-38x38.png" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=138">Menjadi Juara Olimpiade</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.70,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=138" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=161"><img alt="Buku Petunjuk Guru (1,2,3) dan Buku Kerja Pelatihan Guru Pintar Berhitung Gasing" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/Petunjuk%20Guru%20Pintar%20Berhitung%20Gasing_resize-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=161">Buku Petunjuk Guru (1,2,3) dan Buku Kerja Pelatihan Guru Pintar Berhitung Gasing</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.150,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=161" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=98"><img alt="Strategi Penyelesaian Soal-soal Matematika" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/Picture1-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=98">Strategi Penyelesaian Soal-soal Matematika</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.53,900</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=98" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=103"><img alt="Suhu dan Termodinamika" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/Picture6-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=103">Suhu dan Termodinamika</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.25,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=103" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=75"><img alt="Video Perkalian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/01Penjumlahan%202-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=75">Video Perkalian I</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=75" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=104"><img alt="Listrik & Magnet" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/Picture7-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=104">Listrik & Magnet</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.57,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=104" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=106"><img alt="Fisika Modern" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/Picture9-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=106">Fisika Modern</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.46,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=106" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=100"><img alt="Matematika sebagai Alat Bantu" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/buku/Picture3-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=100">Matematika sebagai Alat Bantu</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.17,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=100" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=78"><img alt="Video Pembagian " src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/05Pembagian-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=78">Video Pembagian </a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=78" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 1px;" valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=76"><img alt="Video Perkalian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/03Perkalian%20Bag_II-38x38.jpg" /></a></td>
<td valign="top"><a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&product_id=76">Video Perkalian II</a>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: 11px;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=76" title="Add to Cart"> </a>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
</div>
<div id="content">
<div class="top">
<div class="center">
<h1>
Video Pembelajaran Matematika Gasing SD</h1>
</div>
</div>
<div class="middle">
<div>
Melalui tutorial pembelajaran video oleh Prof. Yohanes Surya Ph.D ini
kita akan belajar matematika dengan cara yang sangat mudah. Matematika
itu tidak sulit, siapa saja bisa belajar matematika, semua pasti
bisa. Dengan metode GASING (Gampang, ASyIk, dan menyenaNGkan)<br />
</div>
<div class="sort">
<div class="div1">
</div>
<div class="div2">
Sort By:</div>
</div>
<table class="list">
<tbody>
<tr>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=87"><img alt="Video Bilangan Negatif" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/06Bilangan%20Negatif-120x120.jpg" title="Video Bilangan Negatif" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=87">Video Bilangan Negatif</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 27</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=87" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=88"><img alt="Video Aplikasi Soal Cerita" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/07Aplikasi_Soal%20Cerita-120x120.jpg" title="Video Aplikasi Soal Cerita" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=88">Video Aplikasi Soal Cerita</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 28</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=88" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=89"><img alt="Video Pecahan bagian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/08Pecahan%20Bag_I-120x120.jpg" title="Video Pecahan bagian I" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=89">Video Pecahan bagian I</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 29</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=89" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=90"><img alt="Video Pecahan bagian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/09Pecahan%20Bag_II-120x120.jpg" title="Video Pecahan bagian II" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=90">Video Pecahan bagian II</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 30</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=90" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
</tr>
<tr>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=91"><img alt="Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/10Desimal_Bilangan%20Prima_KPK_FPB%20Bag_I-120x120.jpg" title="Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian I" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=91">Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian I</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 31</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=91" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=92"><img alt="Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/11Desimal_Bilangan%20Prima_KPK_FPB%20Bag_II-120x120.jpg" title="Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian II" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=92">Video Desimal, Bilangan Prima dan Faktor bagian II</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 32</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=92" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=93"><img alt="Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/12Kuadrat%20Akar%20dan%20Pangkat%20Tiga%20Bag_I-120x120.jpg" title="Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian I" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=93">Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian I</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 33</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=93" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=94"><img alt="Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/13Kuadrat%20Akar%20dan%20Pangkat%20Tiga%20Bag_II-120x120.jpg" title="Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian II" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=94">Video Kuadrat Akar dan Pangkat Tiga bagian II</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 34</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=94" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
</tr>
<tr>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=95"><img alt="Video Geometri bagian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/14Geometri%20Bag_I-120x120.jpg" title="Video Geometri bagian I" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=95">Video Geometri bagian I</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 35</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=95" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=96"><img alt="Video Geometri bagian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/15Geometri%20Bag_II-120x120.jpg" title="Video Geometri bagian II" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=96">Video Geometri bagian II</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 36</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=96" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=97"><img alt="Video Geometri bagian III" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/16Geometri%20Bag_III-120x120.jpg" title="Video Geometri bagian III" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=97">Video Geometri bagian III</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 37</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=97" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=161"><img alt="Buku Petunjuk Guru (1,2,3) dan Buku Kerja Pelatihan Guru Pintar Berhitung Gasing" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/Petunjuk%20Guru%20Pintar%20Berhitung%20Gasing_resize-120x120.jpg" title="Buku Petunjuk Guru (1,2,3) dan Buku Kerja Pelatihan Guru Pintar Berhitung Gasing" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=161">Buku Petunjuk Guru (1,2,3) dan Buku Kerja Pelatihan Guru Pintar Berhitung Gasing</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Buku 56</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.150,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=161" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
</tr>
<tr>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=76"><img alt="Video Perkalian II" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/03Perkalian%20Bag_II-120x120.jpg" title="Video Perkalian II" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=76">Video Perkalian II</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 24</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=76" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=74"><img alt="Video Penjumlahan" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/01Penjumlahan-120x120.jpg" title="Video Penjumlahan" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=74">Video Penjumlahan</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 22</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=74" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=75"><img alt="Video Perkalian I" src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/01Penjumlahan%202-120x120.jpg" title="Video Perkalian I" /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=75">Video Perkalian I</a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 23</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=75" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=77"><img alt="Video Pengurangan " src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/04Pengurangan-120x120.jpg" title="Video Pengurangan " /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=77">Video Pengurangan </a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 25</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=77" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
</tr>
<tr>
<td width="25%"> <a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=78"><img alt="Video Pembagian " src="http://www.kandelmultimedia.com/store/image/cache/data/video%20mat.%20gasing/05Pembagian-120x120.jpg" title="Video Pembagian " /></a><br />
<a href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=product/product&path=39&product_id=78">Video Pembagian </a><br />
<span style="color: #999999; font-size: 11px;">Product 26</span><br />
<span style="color: #990000; font-weight: bold;">Rp.50,000</span>
<a class="button_add_small" href="http://www.kandelmultimedia.com/store/index.php?route=checkout/cart&product_id=78" title="Add to Cart"> </a>
<br />
</td>
<td width="25%"><br /></td>
<td width="25%"><br /></td>
<td width="25%"><br /></td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="pagination">
<div class="results">
Showing 1 to 17 of 17 (1 Pages)</div>
</div>
</div>
<div class="bottom">
</div>
</div>
<div id="footer">
<div class="copyright">
Copyright © 2011 PT. Kandel Divisi Multimedia. All rights reserved.<br />
Headquarter Office: Kompleks Odessa Blok AA2 No. 47, Boulevard Gading Serpong, Tangerang, Banten - Indonesia<br />Call Center: +6221 5420 3043, +6221 5464 187, Mobile: +62857 1155 9930<br />
</div>
</div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-36236662490684093462012-12-09T22:50:00.001-08:002012-12-09T22:50:05.655-08:00Prediksi Soal UN Matematika SMP<a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-smp-2013.html" target="_blank"></a><br />
<div class="breadcrumbs">
<a href="http://www.onlinesyariah.com/">Home</a> »
<a href="http://www.onlinesyariah.com/search/label/UN%202013?max-results=6" rel="tag">UN 2013</a>
> Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013
</div>
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=536964170980678535" name="8698488967181017278"></a>
<h1 class="post-title entry-title">
<a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-smp-2013.html"><b>Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013</b></a>
</h1>
<div style="text-align: justify;">
<b style="font-family: Verdana,sans-serif;">Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013</b><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">. Hi sahabat sekalian, terima kasih atas kunjungannya di blog <b>OnlineSyariah.com</b>. Blog ini telah memberikan beberapa file penting dalam pembelajaran untuk persiapan menghadapi <b>UN 2013</b>. Diantaranya telah dipublish mengenai <a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/skl-un-2013-download-kisi-kisi-skl-un.html"><b>SKL UN 2013</b></a>, <b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-un-sma-2013.html">Prediksi Soal UN SMA 2013</a> </b>dan berbagai file penting lainnya. Kalian dapat menggunakan navigasi yang sudah ada untuk mendapatkan file yang kalian inginkan.<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=536964170980678535" name="more"></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Kali ini kita akan kembali melihat matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diujiannasionalkan. <b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-smp-2013.html">Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013</a> </b>ini
diharapkan dapat membantu adik-adik siswa kelas IX maupun para guru
yang sedang berusaha untuk mendapatkan referensi tambahan untuk belajar.
Sebenarnya saya telah berharap dapat menemukan file prediksi yang
sesuai dengan <b>SKL UN SMP 2013</b>, namun sampai tulisan ini dipublish
pemerintah belum secara resmi mengeluarkan kisi-kisi UN tersebut.
Nantilah jika telah keluar maka kita akan mengkajinya kembali. Oke?!</span></div>
<div style="text-align: center;">
<h3>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013 </span></h3>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Nah, <u>Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013</u>
ini telah saya kumpulkan untuk dapat didownload dengan mudah. Di bagian
bawah blog ini saya mencantumkan sumbernya. Semoga kita semua diberi
kemudahan dalam mendownload materi-materi di bawah ini. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Untuk download prediksi
Soal Matematika UN SMP 2013, silakan langsung klik pada link berikut.
Dalam hitungan detik file-file ini akan menjadi milik kamu. Ini dia ... </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> </span>
<ul>
<li style="font-family: Verdana,sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXNDgyYWFlNDktNmE2Ny00MzQyLWJjZTYtOTFlNDk1MDA5MDFj&export=download&hl=sk" rel="nofollow">Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013 (Part 1)</a></li>
<li style="font-family: Verdana,sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXODZhMjM5NTktODg2OC00NjBmLTk4M2YtNjQ1NjYwZjVkMDY1&export=download&hl=sk" rel="nofollow">Prediksi Soal UN Matematika SMP 2013 (Part 2)</a></li>
<li style="font-family: Verdana,sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXY3lQZEt5cDU4VUE&export=download&hl=sk" rel="nofollow">Pembahasan Soal UN Matematika SMP 2012 Part 1</a></li>
<li style="font-family: Verdana,sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXSmJIY3paMEYxSW8&export=download&hl=sk" rel="nofollow">Pembahasan Soal UN Matematika SMP 2012 Part 2</a></li>
<li style="font-family: Verdana,sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXZDk0MjVlZTMtZDM0Ny00MjliLWEyYzctMWRiNDU1ZjE2OGQ1&export=download&hl=sk" rel="nofollow">Modul Persiapan UN Matematika SMP 2013</a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/uc?id=0B90lCb2LZvvXZnNKWmREVEJiZlk&export=download&hl=sk" rel="nofollow" style="font-family: Verdana,sans-serif;">Contoh Solusi Cepat Matematika SMP 2013</a></li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Bagaimana, mudah bukan
cara mendownloadnya?! Semoga apa yang diberikan ini benar-benar dapat
dimanfaatkan secara maksimal. Selamat belajar. Jangan lupa tetap jaga
kesehatan agar semuanya dapat berjalan lancar. Download juga <b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-un-smp-2013.html">Prediksi Soal UN SMP 2013</a> </b>dan <b><a href="http://www.onlinesyariah.com/2012/10/prediksi-soal-uasbn-sd-2013.html">prediksi SOal UASBN SD 2013</a> </b>lainnya<b>.</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Source : <a href="http://www.alwanku.com/2012/11/soal-un-matematika-smp-2013.html"><b>Soal UN Matematika SMP 2013</b></a> </span></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-25071714804453075872012-12-04T07:17:00.001-08:002012-12-04T07:17:05.554-08:00Materi Pembelajaran konstanta <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/E_%28konstanta_matematika%29#p-search"></a>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 182px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-ruud.png"><img alt="" class="thumbimage" height="180" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/0/06/E-ruud.png" width="180" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-ruud.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
<i>e</i> adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi <i>f(x)=e</i><sup><i>x</i></sup> pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama.</div>
</div>
</div>
<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta_matematika&action=edit&redlink=1" title="Konstanta matematika (halaman belum tersedia)">Konstanta matematika</a> <i><b>e</b></i> adalah basis dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma_natural" title="Logaritma natural">logaritma natural</a>. Kadang-kadang disebut juga <b>bilangan Euler</b> sebagai penghargaan atas ahli matematika <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Swiss" title="Swiss">Swiss</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, atau juga <b>konstanta Napier</b> sebagai penghargaan atas ahli matematika <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Skotlandia" title="Skotlandia">Skotlandia</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/John_Napier" title="John Napier">John Napier</a> yang merumuskan konsep <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma">logaritma</a> untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, <i>i</i>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi">π</a>. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagain ada dibawah.<br />
Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:<br />
<dl><dd><i>e</i> ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352</dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Definisi">Definisi</span></h2>
<dl><dd><img alt="\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/e/64efe656e62a3cead79984cc4f94d730.png" /></dd><dd><img alt="\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/9/e/39ed2cc8df6f5ccf2ae8d6a853604237.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Lihat_pula"> </span></h2>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-19679262021914890932012-12-04T06:54:00.002-08:002012-12-04T06:54:20.301-08:00Materi Pembelajaran HimpuanDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>himpunan</b> adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ide" title="Ide">ide</a> yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konsep" title="Konsep">konsep</a> penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a>, sangatlah berguna.<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Venn_A_intersect_B.svg"><img alt="" class="thumbimage" height="157" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/220px-Venn_A_intersect_B.svg.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Venn_A_intersect_B.svg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn" title="Diagram Venn">diagram Venn</a></div>
</div>
</div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">Teori himpunan</a>, yang baru diciptakan pada akhir <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abad_ke-19" title="Abad ke-19">abad ke-19</a>, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sekolah_dasar" title="Sekolah dasar">sekolah dasar</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori" title="Teori">Teori</a>
ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori
himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek
dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika
diturunkan.<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Notasi_Himpunan">Notasi Himpunan</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Amino_Acids_Venn_Diagram.png"><img alt="" class="thumbimage" height="140" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Amino_Acids_Venn_Diagram.png/220px-Amino_Acids_Venn_Diagram.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Amino_Acids_Venn_Diagram.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn</div>
</div>
</div>
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <i>S</i>, <i>A</i>, atau <i>B</i>, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<i>a</i>, <i>c</i>, <i>z</i>).
Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi
bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di
bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.<br />
<dl><dd>
<table class="wikitable">
<tbody>
<tr>
<th><br /></th>
<th><b>Notasi</b></th>
<th><b>Contoh</b></th>
</tr>
<tr>
<td>Himpunan</td>
<td>Huruf besar</td>
<td><img alt="S" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td>Elemen himpunan</td>
<td>Huruf kecil (jika merupakan huruf)</td>
<td><img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td>Kelas</td>
<td>Huruf tulisan tangan</td>
<td><img alt="\mathcal{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/2/1923743cb649c1b1f7abfdb2dac3caf2.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan
kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.<br />
<dl><dd>
<table class="wikitable">
<tbody>
<tr>
<th>Bilangan</th>
<td>Asli</td>
<td>Bulat</td>
<td>Rasional</td>
<td>Riil</td>
<td>Kompleks</td>
</tr>
<tr>
<th>Notasi</th>
<td><img alt="\mathbb{N}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png" /></td>
<td><img alt="\mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/f/3/3f3c78f02a9c53f5460f4bcc2e7dd3cb.png" /></td>
<td><img alt="\mathbb{Q}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/b/e1b306c1584733e8bca1e28fdfa9ba3f.png" /></td>
<td><img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134676911181af05d24d406f16edf587.png" /></td>
<td><img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/0/b/f0b01fe0a1eec87c634584ac0694fb71.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:<br />
<dl><dd>
<table class="wikitable">
<tbody>
<tr>
<th>Simbol</th>
<th>Arti</th>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\{ \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/3/c/53c3622a535eebd0c1f6e277bf104dad.png" /> atau <img alt="\varnothing" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/0/9/d096fc15d57854ec89d746709b02e52e.png" /></td>
<td>Himpunan kosong</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\cup" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/3/2/432c1df69e11aba7c5c5070e7578609f.png" /></td>
<td>Operasi gabungan dua himpunan</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\cap" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78f632038354aae583f795a73d4e6b8.png" /></td>
<td>Operasi irisan dua himpunan</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\subseteq" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/0/7/a07903a0504f50f27e2a85c27e47fbd5.png" />, <img alt="\subset" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7afa88c2877d79e6a8a190b360edfcd6.png" />, <img alt="\supseteq" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/f/55fef34436f901c3e488cbaa41050df8.png" />, <img alt="\supset" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/2/0f2c04f82a1eb8e3e371366214579f5b.png" /></td>
<td>Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="A^C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/9/7/797305c8a9fb44702f004a111ed79beb.png" /></td>
<td>Komplemen</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\mathcal{P}(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/a/22a8862fa283e85802253967e88b15f1.png" /></td>
<td>Himpunan kuasa</td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:<br />
<ul>
<li><b>Enumerasi</b>, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elipsis" title="Elipsis">elipsis</a> (...).</li>
</ul>
<dl><dd><img alt="B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/a/6eaa9bc11416f2f3807245f2fbed7bde.png" /></dd><dd><img alt="A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/a/f3a162677360a49bc4f0d4a53c807bbe.png" /></dd><dd><img alt="\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17f511542083a8be388f6d3e774bceb.png" /></dd></dl>
<ul>
<li><b>Pembangun himpunan</b>, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.</li>
</ul>
<dl><dd><img alt="O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/2/5/52569475f42ee818c5ec6dc8bc606b2c.png" /></dd><dd><img alt="E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/4/4/d4418f3d5e6cdfee4eef22719cf71abe.png" /></dd><dd><img alt="P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/0/e80ace6112a90791f6fa9225c3fbdeb4.png" /></dd></dl>
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Paradoks" title="Paradoks">paradoks</a>, contohnya adalah himpunan berikut:<br />
<dl><dd><img alt="A = \{ x\, |\, x \notin A\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/1/b81167518fd46420695433dc921c67b2.png" /></dd></dl>
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus
mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan
anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_kosong">Himpunan kosong</span></h2>
Himpunan {<i>apel, jeruk, mangga, pisang</i>} memiliki anggota-anggota <i>aPELI</i>, <i>jeruk</i>, <i>mangga</i>, dan <i>pisang</i>.
Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5
dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki
anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai <b>himpunan kosong</b>.<br />
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:<br />
<dl><dd><img alt="\varnothing = \{ \, \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/4/bf499c83c4f731bee247bd56c09dcfc2.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Relasi_antar_himpunan">Relasi antar himpunan</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Subhimpunan">Subhimpunan</span></h3>
Dari suatu himpunan, misalnya <i>A</i> = {<i>apel, jeruk, mangga, pisang</i>}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.<br />
<ul>
<li>{<i>apel, jeruk</i>}</li>
<li>{<i>jeruk, pisang</i>}</li>
<li>{<i>apel, mangga, pisang</i>}</li>
</ul>
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan <i>A</i>. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai <b>subhimpunan</b> atau <b>himpunan bagian</b> dari <i>A</i>. Jadi dapat dirumuskan:<br />
<i>B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.</i><br />
<dl><dd><img alt=" B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/c/0/dc0672924acaedf207df8ad6280e8854.png" /></dd></dl>
Kalimat di atas tetap benar untuk <i>B</i> himpunan kosong. Maka <img alt="\varnothing" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/0/9/d096fc15d57854ec89d746709b02e52e.png" /> juga subhimpunan dari <i>A</i>.<br />
<i>Untuk sembarang himpunan A,</i><br />
<dl><dd><img alt="\varnothing \subseteq A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/3/9/b390e76834d84741189fabdb993ebe6c.png" /></dd></dl>
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari <i>A</i> adalah <i>A</i> sendiri.<br />
<i>Untuk sembarang himpunan A,</i><br />
<dl><dd><img alt="A \subseteq A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/4/4/b444b62e47f299a19ce5782b5a1e5e89.png" /></dd></dl>
Istilah <i>subhimpunan</i> dari <i>A</i> biasanya berarti mencakup <i>A</i> sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari <i>A</i>, tetapi bukan <i>A</i> sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.<br />
<b>Subhimpunan sejati</b> dari <i>A</i> menunjuk pada <i>subhimpunan</i> dari <i>A</i>, tetapi tidak mencakup <i>A</i> sendiri.<br />
<dl><dd><img alt="B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/a/9/3a93b07baa3edb5f2ccce95505c3dfef.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Superhimpunan">Superhimpunan</span></h3>
Kebalikan dari <i>subhimpunan</i> adalah <b>superhimpunan</b>, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.<br />
<dl><dd><img alt="A \supseteq B \equiv B \subseteq A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/7/f/b7f5576ed704b2a5c3a33c570118ad14.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Kesamaan_dua_himpunan">Kesamaan dua himpunan</span></h3>
Himpunan <i>A</i> dan <i>B</i> disebut sama, jika setiap anggota <i>A</i> adalah anggota <i>B</i>, dan sebaliknya, setiap anggota <i>B</i> adalah anggota <i>A</i>.<br />
<dl><dd><img alt="A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/f/7/9f71f47c635440f3512d378b3e7b9293.png" /></dd></dl>
atau<br />
<dl><dd><img alt="A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/e/2/9e2850a7274a5bfcb54ae7d8acc3e91c.png" /></dd></dl>
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan <i>A</i> dan <i>B</i> adalah sama. Pertama, buktikan dahulu <i>A</i> adalah subhimpunan <i>B</i>, kemudian buktikan bahwa <i>B</i> adalah subhimpunan <i>A</i>.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_Kuasa">Himpunan Kuasa</span></h3>
<b>Himpunan kuasa</b> atau <b>himpunan pangkat</b> (<i>power set</i>) dari <i>A</i> adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari <i>A</i>. Notasinya adalah <img alt="\mathcal{P}(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/a/22a8862fa283e85802253967e88b15f1.png" />.<br />
Jika <i>A</i> = {<i>apel, jeruk, mangga, pisang</i>}, maka <img alt="\mathcal{P}(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/a/22a8862fa283e85802253967e88b15f1.png" />:<br />
<pre> { { },
{<i>apel</i>}, {<i>jeruk</i>}, {<i>mangga</i>}, {<i>pisang</i>},
{<i>apel, jeruk</i>}, {<i>apel, mangga</i>}, {<i>apel, pisang</i>},
{<i>jeruk, mangga</i>}, {<i>jeruk, pisang</i>}, {<i>mangga, pisang</i>},
{<i>apel, jeruk, mangga</i>}, {<i>apel, jeruk, pisang</i>}, {<i>apel, mangga, pisang</i>}, {<i>jeruk, mangga, pisang</i>},
{<i>apel, jeruk, mangga, pisang</i>} }
</pre>
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari <i>A</i> adalah 2 pangkat banyaknya anggota <i>A</i>.<br />
<dl><dd><img alt="|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/d/93d0448426dea54b4a0a3970bcc67b36.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Kelas">Kelas</span></h2>
Suatu himpunan disebut sebagai <b>kelas</b>, atau <b>keluarga himpunan</b> jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan <img alt="A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/2/a/a2a0b3ceed0ff27a32ed7e8504826de5.png" /> adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan <i>A</i>, maka himpunan kuasanya, <img alt="\mathcal{P}(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/a/22a8862fa283e85802253967e88b15f1.png" /> adalah sebuah keluarga himpunan.<br />
Contoh berikut, <img alt="P = \{ \{a,\,b\}, c\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/4/9249291d45b8e5a23e71e42896bc2ae5.png" /> bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen <i>c</i> yang bukan himpunan.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Kardinalitas">Kardinalitas</span></h2>
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran
banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen
himpunan <img alt="\{apel, jeruk, mangga, pisang\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/0/1/c0153a81356432427102852da0c5bd9b.png" /> adalah 4. Himpunan <img alt="\{p, q, r, s\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/7/b6761918a56406e74c680ddbeafa681a.png" />
juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut
ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.<br />
Dua buah himpunan <i>A</i> dan <i>B</i> memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan <i>A</i> pada <i>B</i>. Karena dengan mudah kita membuat fungsi <img alt="\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/1/8/f18d5fbc53d85a39722a2e143acf3c87.png" /> yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan <i>A</i> ke <i>B</i>, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_Denumerabel">Himpunan Denumerabel</span></h3>
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan <img alt="\mathbb{N}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png" />, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Denumerabel&action=edit&redlink=1" title="Denumerabel (halaman belum tersedia)">denumerabel</a>. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <img alt="\mathfrak{a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/1/2310024ef60556cb19b956e195ec2c4f.png" />.<br />
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel,
karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan
himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh <img alt="2n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/7/e/d7e6be4b30546dba6ffd0e0e2bced213.png" />.<br />
<dl><dd><img alt="A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/4/ff47dc09498bad5f3bc536c7db5804ee.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_Berhingga">Himpunan Berhingga</span></h3>
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <img alt="\mathfrak{a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/1/2310024ef60556cb19b956e195ec2c4f.png" />, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_Tercacah">Himpunan Tercacah</span></h3>
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Himpunan_Non-Denumerabel">Himpunan Non-Denumerabel</span></h3>
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh
dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas
dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <img alt="\mathfrak{c}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/f/5/af5b073c55060c089be2e36ee414b551.png" />. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian_diagonal&action=edit&redlink=1" title="Pembuktian diagonal (halaman belum tersedia)">pembuktian diagonal</a>.<br />
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <img alt="\mathfrak{c}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/f/5/af5b073c55060c089be2e36ee414b551.png" />,
karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan
himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <img alt="y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/7/667d7429187cec7cbb0d6a123056e0f6.png" />.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Fungsi_Karakteristik">Fungsi Karakteristik</span></h2>
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.<br />
<dl><dd><img alt="\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/f/fff9a20c8de1b5f93d5c3eaa2faabe11.png" /></dd></dl>
Jika <img alt="A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/e/c/eecb16bcf76d5a8c0160751d6ae78216.png" /> maka:<br />
<dl><dd><img alt="\chi_A(apel) = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/2/9329eff477228561d6f531c1a0b08074.png" /></dd><dd><img alt="\chi_A(durian) = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/d/18d9e118948e1f9157bac50e2760c64a.png" /></dd><dd><img alt="\chi_A(utara) = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/c/8bcc90548e8fbc1a45b8d1dbc29243cf.png" /></dd><dd><img alt="\chi_A(pisang) = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/d/c3db98477f349e342b1429e50b75cf08.png" /></dd><dd><img alt="\chi_A(singa) = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/4/1/2411ef67d02ead75944b22b35a82d3c9.png" /></dd></dl>
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa <img alt="\mathcal{P}(S)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/0/980298ee88ca6acb372f460a384de03f.png" /> dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari <i>S</i>.
Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan
bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam
himpunan tersebut.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Representasi_Biner">Representasi Biner</span></h3>
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta <i>S</i>, maka setiap himpunan bagian dari <i>S</i> bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_biner&action=edit&redlink=1" title="Bilangan biner (halaman belum tersedia)">Bilangan biner</a> menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Digit" title="Digit">digitnya</a>. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen <i>S</i>,
sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0
menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain,
masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan <i>S</i> = {<i>a, b, c, d, e, f, g</i>}, <i>A</i> = {<i>a, c, e, f</i>}, dan B = {<i>b, c, d, f</i>}, maka:<br />
<pre> Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
<b>a b c d e f g</b>
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
</pre>
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Union" title="Union">union</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Interseksi" title="Interseksi">interseksi</a>, dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Komplemen" title="Komplemen">komplemen</a>, karena kita tinggal menggunakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Operasi_bit&action=edit&redlink=1" title="Operasi bit (halaman belum tersedia)">operasi bit</a> untuk melakukannya.<br />
<ul>
<li>Operasi gabungan <img alt="A \cup B" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/e/fee055b62470bc8713ed312fb67bbc55.png" /> setara dengan <i>A</i> <b>or</b> <i>B</i></li>
<li>Operasi irisan <img alt="A \cap B" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/d/fbd0dfa8f015d48acfe4570aa6babc6a.png" /> setara dengan <i>A</i> <b>and</b> <i>B</i></li>
<li>Operasi komplemen <img alt="A^C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/9/7/797305c8a9fb44702f004a111ed79beb.png" /> setara dengan <b>not</b> <i>A</i></li>
</ul>
Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pascal" title="Pascal">Pascal</a> dan juga <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Delphi" title="Delphi">Delphi</a><br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-46868263967059007422012-12-04T06:45:00.005-08:002012-12-04T06:45:21.265-08:00Materi Pembelajaran Integral<b>Integral</b> adalah kebalikan dari proses <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan" title="Turunan">diferensiasi</a>.
Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di
mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang
berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah <img alt="\int\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/b/09b51ce4b5d77f40b7ca997765f9baea.png" /><br />
Integral terbagi dua yaitu <b><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Integral_tak_tentu" title="Integral tak tentu">integral tak tentu</a></b> dan <b><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_tertentu&action=edit&redlink=1" title="Integral tertentu (halaman belum tersedia)">integral tertentu</a></b>.
Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah.
Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan
luas.<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Mencari_nilai_integral">Mencari nilai integral</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Substitusi">Substitusi</span></h3>
<dl><dd>Contoh soal:</dd><dd>Cari nilai dari:<img alt="\int \frac{ln x}{x}\,dx\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/d/3/8d3af34af19198546482a0139397ae34.png" />
<dl><dd><img alt="t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/c/19c561b042bfe25b1b53a404ae822f12.png" /></dd><dd><img alt="\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/d/e/bdef6d4d6dc38c6dffe9aa20a714f0bb.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {1}{2} t^2 + C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/a/33a5638fe4337959263b2ddb8b1267b8.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {1}{2} ln^2x + C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/0/c302037f0dc7d5e331d0f7084dacd01b.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Integrasi_parsial">Integrasi parsial</span></h3>
<dl><dd>Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/5/c/15ce6261ffa4e9a6afe5dad08e6185dc.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>Contoh soal:</dd><dd>Cari nilai dari: <img alt="\int \ln x \,dx\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/a/f/1af355ad3c84afb09be8fc4af2a4a4fe.png" />
<dl><dd><img alt="f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/7/ef7c056a1f9f4f6f625bacef5fff976c.png" /></dd><dd>Gunakan rumus di atas</dd><dd><img alt="\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/3/0c37eb8c28fce5f0b08f8f261333cc71.png" /></dd><dd><img alt="= x ln x - \int 1\,dx\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/8/c/28cda28714f5eed612a90e6b1547c2f6.png" /></dd><dd><img alt="= x ln x - x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/b/4/db4e94cbce46984c7e503434dee492e4.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Substitusi_trigonometri">Substitusi trigonometri</span></h3>
<table>
<tbody>
<tr>
<td style="width: 150px;">Bentuk</td>
<td style="width: 150px;">Gunakan</td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\sqrt{a^2-b^2x^2}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/c/d1c572296f16e19ff95d2223721dd0a8.png" /></td>
<td><img alt="x = \frac{a}{b}\sin \alpha\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/a/f/fafa5c25924a916e03ac5020addf75ad.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\sqrt{a^2+b^2x^2}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/d/9/4d9c766c79d6663534e7ce6ee1bf466f.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/c/e/9cecc69b0dcf3dd0e768516c409e85de.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="\sqrt{b^2x^2-a^2}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/8/358a0a3b888fad102fe525e96f62dbed.png" /></td>
<td><img alt="\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/9/f/89f3ce18e239408113ba4c8a6c3226de.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
<dl><dd>Contoh soal:</dd><dd>Cari nilai dari: <img alt="\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/8/e18f759b744ee26002cdb5ef8edf68f3.png" />
<dl><dd><img alt="x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/7/6/376e1b253b4164c3e8b62dea2f20f9eb.png" /></dd><dd><img alt="\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/8/e18f759b744ee26002cdb5ef8edf68f3.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/5/5/855e19cdaa45ee7049b4fbd672a1d293.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/1/f31c8e5c0191e1cfc82c646cad0be78d.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/1/f6125fe24754abb2664b07f99886de46.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/6/a56e0c38358ea17009beeaa488c9eebd.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/d/b/8db9120947fbff51646963dfec5ca16b.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e15645df268c2e34bea7da1de414dda0.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/7/d/67d56dd3e697fc2822a5076f9a51d067.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/b/3cbc475508bfa31842bcbe6eaa698cec.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>
<dl><dd>Cari nilai dari: <img alt="\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/2/1/32160ab861cfb9d7d92822d0e40b887f.png" /> dengan menggunakan substitusi</dd><dd><img alt="t = sin A, dt = cos A\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/5/5/e557d1b2574fa17b68c4313e13912cbb.png" /></dd><dd><img alt="\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/2/1/32160ab861cfb9d7d92822d0e40b887f.png" /></dd><dd><img alt="= \int \frac{dt}{t^2}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/0/b/90bcc44b672e9f1265cf1cf7dfe914ce.png" /></dd><dd><img alt="= \int t^{-2}\,dt\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/5/00567273de0b2a12a10b6577e7031f8e.png" /></dd><dd><img alt="= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/9/2/2926894a283f7ae575dd1efc74e5385b.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>Masukkan nilai tersebut:</dd><dd><img alt="= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/b/3cbc475508bfa31842bcbe6eaa698cec.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/2/2/722aa589bccfcf21d050879966f0d320.png" /></dd><dd><img alt="= -\frac {1}{4 sin A} + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/d/d3dd2fd3bc1b0628d1d029f268d44b49.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>Nilai sin A adalah <img alt="\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/8/0085c9e197af67d2a775ce6b42037b7e.png" /></dd><dd><img alt="= -\frac {1}{4 sin A} + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/d/d3dd2fd3bc1b0628d1d029f268d44b49.png" /></dd><dd><img alt="= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da57547f52e72a2042de77b12df97112.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Integrasi_pecahan_parsial">Integrasi pecahan parsial</span></h3>
<dl><dd>Contoh soal:</dd><dd>Cari nilai dari: <img alt="\int\frac{dx}{x^2-4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/a/63a61d1c60e8ccc35c110e699076db1c.png" />
<dl><dd><img alt="\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/f/9af5a6efb329d052dee2b27297b912ae.png" /></dd><dd><img alt="= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/1/b/61bcc3c345acdd77f877919fbef844d6.png" /></dd><dd><img alt="= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/1/091bd0408eb95de46126fac9dc8a05ac.png" /></dd><dd><img alt="=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/b/e/4be96d1cb2238a3dd4651be8e5f0cdb6.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>Akan diperoleh dua persamaan yaitu <img alt="A+B = 0\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/0/e/70e4f83afe9625a2af1d25c9925c2789.png" /> dan <img alt="A-B = -\frac{1}{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/b/c/6bcccd012bc6f39206b418bd5d76a1d0.png" /></dd><dd>Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil <img alt="A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/1/f/a1fc0db097505e5acf966d079e4d1805.png" /></dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\int\frac{dx}{x^2-4}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/a/63a61d1c60e8ccc35c110e699076db1c.png" /></dd><dd><img alt="= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/0/5/4058e347638d655b43640ab36cb9420a.png" /></dd><dd><img alt="= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/b/9aba1dab787753ce15f2b9ac00438566.png" /></dd><dd><img alt="= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/7/e/b7edbf25a0473919176409c55e7e0379.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus_integrasi_dasar">Rumus integrasi dasar</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Umum">Umum</span></h3>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Bilangan_natural">Bilangan natural</span></h3>
<dl><dd><img alt="\int e^u du= e^u + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/0/2/a0261643f46ed1059b615dc54f06e7b2.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Logaritma">Logaritma</span></h3>
<dl><dd><img alt="\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/1/6e19f187b231877c7f2eebcd6fc68c40.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Trigonometri">Trigonometri</span></h3>
<dl><dd><img alt="\int\sin x\,dx = -\cos x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/f/f/1ff77c567cfd07e4ad41b9ec92009684.png" /></dd><dd><img alt="\int\cos x\,dx = \sin x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/0/8/508af2b09a78ffcbb346d859207fe6ff.png" /></dd><dd><img alt="\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/f/a/9fa22a2f6b85614e17571851b9940079.png" /></dd><dd><img alt="\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/2/7/f271caab3c2997c5f60e4a21b8c91cd7.png" /></dd><dd><img alt="\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/9/f/a9ffeadc4c3e18da2bf18c57293cb37c.png" /></dd><dd><img alt="\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/2/0/720c46082fd130e1d928b48fa3a88092.png" /></dd><dd><img alt="\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/0/6/f062ff12d5f9d1f3499220eabb5a9106.png" /></dd><dd><img alt="\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/5/3/853e86d2dcb613bf1f8e07ef3035f7cb.png" /></dd><dd><img alt="\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/6/006e357cfe30bf32c0dd88c87c17d065.png" /></dd><dd><img alt="\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/9/9/5994361deed0df89406538eefd2360c0.png" /></dd></dl>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-86661976709686264192012-12-02T04:25:00.004-08:002012-12-02T04:25:59.836-08:00Materi Pembelajaran BolaDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a>, <b>bola</b> adalah bangun ruang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tiga_dimensi" title="Tiga dimensi">tiga dimensi</a> yang dibentuk oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tak_hingga" title="Tak hingga">tak hingga</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="Lingkaran">lingkaran</a> ber<a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Jari-jari" title="Jari-jari">jari-jari</a> sama panjang dan berpusat pada satu <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik" title="Titik">titik</a> yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.<br />
<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Bola.jpg"><img alt="" class="thumbimage" height="215" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/0/0a/Bola.jpg/220px-Bola.jpg" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Bola.jpg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Bangun bola<br />
dengan jari-jari <b><img alt="r" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/b/4/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png" /></b></div>
</div>
</div>
<div class="dablink noprint">
<br /></div>
<div class="dablink noprint">
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus_bola">Rumus bola</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_permukaan">Luas permukaan</span></h3>
<img alt="L = 4 \pi r^2 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/0/f/90fc3dfc19bc958719beb5a52e7cdd54.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Volume">Volume</span></h3>
<img alt="V = \frac{4}{3}\pi r^3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b59ac5ca15c38bc95983f1f0abc68f4c.png" /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-74831806884935717372012-12-02T04:23:00.002-08:002012-12-02T04:23:06.572-08:00Materi Pembelajaran Pemrograman LinearDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>pemrograman linear</b> ialah teknik <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Optimisasi" title="Optimisasi">optimisasi</a> yang melibatkan variabel-variabel linear. Dalam model pemrograman linear dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi objektif (<i>objective function</i>) dan fungsi kendala (<i>constraint function</i>) yang linear.<br />
Pemrograman linear dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut:<br />
<dl><dd>Maksimalkan <img alt="\mathbf{c}^T \mathbf{x} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/e/9/0e91dea41308c7abbb96e5b7d69fe3c5.png" /></dd><dd>dengan syarat <img alt="Ax \leq b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/9/b/69b646c748f4e69fc1aaf64dcc0c01ba.png" /></dd><dd>dan <img alt="x \geq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/7/b/d7b89f725185c1fd9984123cbaa89612.png" /></dd></dl>
Dalam hal ini, x ialah vektor variabel, sedangkan c dan b ialah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28spasial%29" title="Vektor (spasial)">vektor</a> koefisien dan A ialah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_%28matematika%29" title="Matriks (matematika)">matriks</a> koefisien. Fungsi objektifnya ialah ekspresi yang hendak dimaksimalkan atau diminimalkan (yaitu c<sup>T</sup>x). Persamaan Ax ≤ b ialah fungsi kendala yang menunjukkan polihedron konveks tempat fungsi objektifnya dioptimisasi.<br />
Pemrograman linear dapat diterapkan pada berbagai bidang studi. Metode ini paling banyak digunakan dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bisnis" title="Bisnis">bisnis</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi" title="Ekonomi">ekonomi</a>,
namun juga dapat dimanfaatkan dalam sejumlah perhitungan ilmu teknik.
Misalnya, dalam ekonomi, fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan
secara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal
atau biaya minimal, sedangkan fungsi batasan menggambarkan
batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal
ke berbagai kegiatan. Industri yang memanfaatkan pemrograman linear di
antaranya ialah industri transportasi, energi, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Telekomunikasi" title="Telekomunikasi">telekomunikasi</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Manufaktur" title="Manufaktur">manufaktur</a>.
Pemrograman linear juga terbukti berguna dalam membuat model berbagai
jenis masalah dalam perencanaan, perancangan rute, penjadwalan,
pemberian tugas, dan desain.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-27019697194518055892012-12-02T04:19:00.002-08:002012-12-02T04:19:29.601-08:00Sejarah dan Etimologi Matematika<div class="mw-jump" id="jump-to-nav">
Langsung ke: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#mw-head">navigasi</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#p-search">cari</a>
</div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Euclid.jpg&filetimestamp=20060324183553"><img alt="" class="thumbimage" height="184" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Euclid.jpg/220px-Euclid.jpg" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Euclid.jpg&filetimestamp=20060324183553" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euklides" title="Euklides">Euklides</a>, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Raffaello_Sanzio" title="Raffaello Sanzio">Raffaello Sanzio</a> di dalam detail ini dari <i><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sekolah_Athena" title="Sekolah Athena">Sekolah Athena</a></i>.<sup class="reference" id="cite_ref-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-1">[1]</a></sup></div>
</div>
</div>
<b>Matematika</b> (dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani" title="Bahasa Yunani">bahasa Yunani</a>: <i>μαθηματικά</i> - <i>mathēmatiká</i>) adalah studi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Besaran" title="Besaran">besaran</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur" title="Struktur">struktur</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">perubahan</a>. Para <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" title="Matematikawan">matematikawan</a> mencari berbagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pola" title="Pola">pola</a>,<sup class="reference" id="cite_ref-2"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-2">[2]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-3"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-3">[3]</a></sup> merumuskan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur">konjektur</a> baru, dan membangun kebenaran melalui <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_deduksi" title="Metode deduksi">metode deduksi</a> yang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekakuan_matematika" title="Kekakuan matematika">kaku</a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma">aksioma-aksioma</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Definisi" title="Definisi">definisi-definisi</a> yang bersesuaian.<sup class="reference" id="cite_ref-4"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-4">[4]</a></sup><br />
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29" title="Titik (geometri)">titik</a> hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce" title="Benjamin Peirce">Benjamin Peirce</a> menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".<sup class="reference" id="cite_ref-5"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-5">[5]</a></sup> Di pihak lain, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>
menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada
kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak
merujuk kepada kenyataan."<sup class="reference" id="cite_ref-certain_6-0"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-6">[6]</a></sup><br />
Melalui penggunaan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penalaran" title="Penalaran">penalaran</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika" title="Logika">logika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_%28matematika%29" title="Abstraksi (matematika)">abstraksi</a>, matematika berkembang dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan" title="Pencacahan">pencacahan</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulasi" title="Kalkulasi">perhitungan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran" title="Pengukuran">pengukuran</a>, dan pengkajian sistematis terhadap <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bangun_%28geometri%29" title="Bangun (geometri)">bangun</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gerak" title="Gerak">pergerakan</a> benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika" title="Sejarah matematika">rekaman tertulis</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika" title="Logika">Argumentasi kaku</a> pertama muncul di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Yunani" title="Matematika Yunani">Matematika Yunani</a>, terutama di dalam karya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euklides" title="Euklides">Euklides</a>, <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elemen_Euklides" title="Elemen Euklides">Elemen</a></i>.<br />
Matematika selalu berkembang, misalnya di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cina" title="Cina">Cina</a> pada tahun 300 <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sebelum_Masehi" title="Sebelum Masehi">SM</a>, di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/India" title="India">India</a> pada tahun 100 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masehi" title="Masehi">M</a>, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Renaisans" title="Renaisans">Renaisans</a>, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penemuan_ilmiah&action=edit&redlink=1" title="Penemuan ilmiah (halaman belum tersedia)">penemuan ilmiah</a> baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.<sup class="reference" id="cite_ref-7"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-7">[7]</a></sup><br />
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_alam" title="Ilmu alam">ilmu alam</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teknik" title="Teknik">teknik</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteran" title="Kedokteran">kedokteran</a>/<a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Medis" title="Medis">medis</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_sosial" title="Ilmu sosial">ilmu sosial</a> seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi" title="Ekonomi">ekonomi</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi" title="Psikologi">psikologi</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_terapan" title="Matematika terapan">Matematika terapan</a>,
cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke
bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan
matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan
disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">statistika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_permainan" title="Teori permainan">teori permainan</a>.<br />
Para matematikawan juga bergulat di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a>,
atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya
penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi
latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan
terkemudian.<br />
<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Etimologi">Etimologi</span></h2>
Kata "matematika" berasal dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani_Kuno" title="Bahasa Yunani Kuno">bahasa Yunani Kuno</a> μάθημα (<i>máthēma</i>), yang berarti <i>pengkajian</i>, <i>pembelajaran</i>, <i>ilmu</i>
yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian
matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah
μαθηματικός (<i>mathēmatikós</i>), <i>berkaitan dengan pengkajian</i>, atau <i>tekun belajar</i>, yang lebih jauhnya berarti <i>matematis</i>. Secara khusus, <span class="polytonic" lang="grc" style="font-family: Athena, Gentium, Palatino Linotype, Arial Unicode MS, Lucida Sans Unicode, Lucida Grande, Code2000; font-family: inherit;">μαθηματικὴ τέχνη</span> (<i>mathēmatikḗ tékhnē</i>), di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin" title="Bahasa Latin">bahasa Latin</a> <i>ars mathematica</i>, berarti <i>seni matematika</i>.<br />
Bentuk jamak sering dipakai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris" title="Bahasa Inggris">bahasa Inggris</a>, seperti juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Perancis" title="Bahasa Perancis">bahasa Perancis</a> <i>les mathématiques</i> (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal <i>la mathématique</i>), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral <i>mathematica</i> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cicero" title="Cicero">Cicero</a>), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (<i>ta mathēmatiká</i>), yang dipakai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aristoteles" title="Aristoteles">Aristoteles</a>, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".<sup class="reference" id="cite_ref-9"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-9">[9]</a></sup> Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda <i>mathematics</i> mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai <i>math</i> di Amerika Utara dan <i>maths</i> di tempat lain.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Sejarah">Sejarah</span></h2>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Quipu.png&filetimestamp=20050611182621"><img alt="" class="thumbimage" height="330" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Quipu.png/220px-Quipu.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Quipu.png&filetimestamp=20050611182621" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu">quipu</a>, yang dipakai oleh <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekaisaran_Inca" title="Kekaisaran Inca">Inca</a> untuk mencatatkan bilangan.</div>
</div>
</div>
<div class="dablink noprint">
<img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/archive/e/ec/20121002135152%21Crystal_Clear_app_xmag.svg/20px-Crystal_Clear_app_xmag.svg.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika" title="Sejarah matematika">Sejarah matematika</a></div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Evolusi" title="Evolusi">Evolusi</a> matematika dapat dipandang sebagai sederetan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_%28matematika%29" title="Abstraksi (matematika)">abstraksi</a>
yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok
masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang<sup class="reference" id="cite_ref-10"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-10">[10]</a></sup>, adalah tentang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a>: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.<br />
Selain mengetahui cara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan" title="Pencacahan">mencacah</a> objek-objek <i>fisika</i>, manusia <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Prasejarah" title="Prasejarah">prasejarah</a> juga mengenali cara mencacah besaran <i>abstrak</i>, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu" title="Waktu">waktu</a> — <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hari" title="Hari">hari</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Musim" title="Musim">musim</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tahun" title="Tahun">tahun</a>. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritmetika_dasar&action=edit&redlink=1" title="Aritmetika dasar (halaman belum tersedia)">Aritmetika dasar</a> (<a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penjumlahan" title="Penjumlahan">penjumlahan</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengurangan" title="Pengurangan">pengurangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian" title="Perkalian">perkalian</a>, dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pembagian" title="Pembagian">pembagian</a>) mengikuti secara alami.<br />
Langkah selanjutnya memerlukan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menulis" title="Menulis">penulisan</a> atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tali&action=edit&redlink=1" title="Tali (halaman belum tersedia)">tali</a> atau dawai bersimpul yang disebut <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu">quipu</a> dipakai oleh bangsa <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inca" title="Inca">Inca</a> untuk menyimpan data numerik. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan" title="Sistem bilangan">Sistem bilangan</a> ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno">Mesir Kuno</a> di <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kerajaan_Tengah_Mesir&action=edit&redlink=1" title="Kerajaan Tengah Mesir (halaman belum tersedia)">Kerajaan Tengah Mesir</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lembaran_Matematika_Rhind&action=edit&redlink=1" title="Lembaran Matematika Rhind (halaman belum tersedia)">Lembaran Matematika Rhind</a>.<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Maya.svg&filetimestamp=20061126002051"><img alt="" class="thumbimage" height="254" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/220px-Maya.svg.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Maya.svg&filetimestamp=20061126002051" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_bilangan_Maya&action=edit&redlink=1" title="Sistem bilangan Maya (halaman belum tersedia)">Sistem bilangan Maya</a></div>
</div>
</div>
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan">perdagangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah">pengukuran tanah</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lukisan" title="Lukisan">pelukisan</a>, dan pola-pola <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menenun" title="Menenun">penenunan</a> dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Babilonia" title="Babilonia">Babilonia</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno">Mesir Kuno</a> mulai menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a> untuk penghitungan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pajak" title="Pajak">pajak</a> dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>.<sup class="reference" id="cite_ref-11"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-11">[11]</a></sup> Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.<br />
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sains" title="Sains">sains</a>,
menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat
sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk,
pada Januari 2006 terbitan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1" title="Bulletin of the American Mathematical Society (halaman belum tersedia)">Bulletin of the American Mathematical Society</a>, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1" title="Mathematical Reviews (halaman belum tersedia)">Mathematical Reviews</a>
sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan
melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap
tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema">teorema</a> matematika baru beserta <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pembuktian_Matematika" title="Pembuktian Matematika">bukti-buktinya</a>."<sup class="reference" id="cite_ref-12"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-12">[12]</a></sup><br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Ilham.2C_matematika_murni_dan_terapan.2C_dan_estetika">Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika</span></h2>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg&filetimestamp=20090609182229"><img alt="" class="thumbimage" height="302" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/220px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg&filetimestamp=20090609182229" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Sir <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> (1643-1727), seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penemu" title="Penemu">penemu</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus infinitesimal</a>.</div>
</div>
</div>
<div class="dablink noprint">
<img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/archive/e/ec/20121002135152%21Crystal_Clear_app_xmag.svg/20px-Crystal_Clear_app_xmag.svg.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keindahan_matematika&action=edit&redlink=1" title="Keindahan matematika (halaman belum tersedia)">Keindahan matematika</a></div>
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit
yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya
masalah-masalah itu dijumpai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan">perdagangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah">pengukuran tanah</a>, dan kemudian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>;
kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji
oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam
matematika itu sendiri. Misalnya, seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikawan" title="Fisikawan">fisikawan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> menemukan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus_integral_lintasan&action=edit&redlink=1" title="Rumus integral lintasan (halaman belum tersedia)">rumus integral lintasan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum">mekanika kuantum</a> menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_dawai" title="Teori dawai">teori dawai</a> masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Interaksi_dasar" title="Interaksi dasar">gaya dasar alami</a>, terus saja mengilhami matematika baru.<sup class="reference" id="cite_ref-13"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-13">[13]</a></sup><br />
Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang
mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di
wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di
satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan
menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang
menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi
memiliki terapan praktis adalah apa yang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Eugene_Wigner" title="Eugene Wigner">Eugene Wigner</a> memanggilnya sebagai "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketidakefektifan_Matematika_tak_ternalar_di_dalam_Ilmu_Pengetahuan_Alam&action=edit&redlink=1" title="Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam (halaman belum tersedia)">Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam</a>".<sup class="reference" id="cite_ref-14"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-14">[14]</a></sup><br />
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di
zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu
perbedaan utama adalah di antara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_terapan" title="Matematika terapan">matematika terapan</a>:
sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada
satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini
perkuliahan program <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sarjana" title="Sarjana">sarjana</a>
mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan
tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin
yang memiliki hak tersendiri, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">statistika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Riset_operasi" title="Riset operasi">riset operasi</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer">ilmu komputer</a>.<br />
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu
aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan
berbicara tentang <i>keanggunan</i> matematika, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Estetika" title="Estetika">estetika</a> yang tersirat, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Keindahan" title="Keindahan">keindahan</a> dari dalamnya. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kesederhanaan" title="Kesederhanaan">Kesederhanaan</a> dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Bukti (matematika) (halaman belum tersedia)">bukti</a> yang diberikan, semisal bukti <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima" title="Bilangan prima">bilangan prima</a>, dan di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_numerik" title="Metode numerik">metode numerik</a> yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Transformasi_Fourier_cepat" title="Transformasi Fourier cepat">transformasi Fourier cepat</a>. <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy" title="G. H. Hardy">G. H. Hardy</a> di dalam <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology" title="A Mathematician's Apology">A Mathematician's Apology</a></i>
mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya
sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<sup class="reference" id="cite_ref-15"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-15">[15]</a></sup><br />
Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a> sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Alkitab" title="Alkitab">Alkitab</a>" di mana <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tuhan" title="Tuhan">Tuhan</a> telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.<sup class="reference" id="cite_ref-16"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-16">[16]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-17"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-17">[17]</a></sup> Kepopularan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_rekreasi&action=edit&redlink=1" title="Matematika rekreasi (halaman belum tersedia)">matematika rekreasi</a> adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Notasi.2C_bahasa.2C_dan_kekakuan">Notasi, bahasa, dan kekakuan</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Leonhard_Euler_2.jpg&filetimestamp=20111222182300"><img alt="" class="thumbimage" height="275" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/220px-Leonhard_Euler_2.jpg" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Leonhard_Euler_2.jpg&filetimestamp=20111222182300" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa</div>
</div>
</div>
<div class="dablink noprint">
<img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/archive/e/ec/20121002135152%21Crystal_Clear_app_xmag.svg/20px-Crystal_Clear_app_xmag.svg.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_matematika" title="Notasi matematika">Notasi matematika</a></div>
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.<sup class="reference" id="cite_ref-18"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-18">[18]</a></sup> Pada abad ke-18, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a>
bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi
modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para
pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi
pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya.
Seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_musik" title="Notasi musik">notasi musik</a>,
notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan
menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara
lain.<br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa" title="Bahasa">Bahasa</a> matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti <i>atau</i> dan <i>hanya</i> memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_terbuka" title="Himpunan terbuka">terbuka</a></i> dan <i><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)">lapangan</a></i> memberikan arti khusus matematika. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jargon_matematika&action=edit&redlink=1" title="Jargon matematika (halaman belum tersedia)">Jargon matematika</a> termasuk istilah-istilah teknis semisal <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&action=edit&redlink=1" title="Homomorfisme (halaman belum tersedia)">homomorfisme</a></i> dan <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterintegralan&action=edit&redlink=1" title="Keterintegralan (halaman belum tersedia)">terintegralkan</a></i>.
Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika
memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para
matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (<i>rigor</i>).<br />
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Infinity_symbol.svg&filetimestamp=20060608235332"><img alt="" class="thumbimage" height="249" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Infinity_symbol.svg/220px-Infinity_symbol.svg.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Infinity_symbol.svg&filetimestamp=20060608235332" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Lambang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)">ketakhinggaan</a> <b>∞</b> di dalam beberapa gaya sajian.</div>
</div>
</div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekakuan_matematika" title="Kekakuan matematika">Kaku</a> secara mendasar adalah tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_matematika&action=edit&redlink=1" title="Bukti matematika (halaman belum tersedia)">bukti matematika</a>.
Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma
dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema">teorema</a>" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<sup class="reference" id="cite_ref-19"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-19">[19]</a></sup> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bangsa_Yunani" title="Bangsa Yunani">bangsa Yunani</a> menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>
kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang
digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan
bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus
beradu argumentasi tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_berbantuan-komputer&action=edit&redlink=1" title="Bukti berbantuan-komputer (halaman belum tersedia)">bukti berbantuan-komputer</a>. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<sup class="reference" id="cite_ref-20"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-20">[20]</a></sup><br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma">Aksioma</a>
menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti
dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan
formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_simbolik" title="Logika simbolik">lambang</a>, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_aksioma" title="Sistem aksioma">sistem aksioma</a>. Inilah tujuan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Program_Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Program Hilbert (halaman belum tersedia)">program Hilbert</a> untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teorema ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)">Teorema ketaklengkapan Gödel</a> tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan_%28logika_matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Kebebasan (logika matematika) (halaman belum tersedia)">tidak dapat ditentukan</a>; dan oleh karena itulah suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiomatisasi&action=edit&redlink=1" title="Aksiomatisasi (halaman belum tersedia)">aksiomatisasi</a>
terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian,
matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain
kecuali <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a>
di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan
atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori
himpunan.<sup class="reference" id="cite_ref-21"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-21">[21]</a></sup><br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Matematika_sebagai_ilmu_pengetahuan">Matematika sebagai ilmu pengetahuan</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Carl_Friedrich_Gauss.jpg&filetimestamp=20051219170533"><img alt="" class="thumbimage" height="282" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/220px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Carl_Friedrich_Gauss.jpg&filetimestamp=20051219170533" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".</div>
</div>
</div>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<sup class="reference" id="cite_ref-22"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-22">[22]</a></sup> Di dalam bahasa aslinya, Latin <i>Regina Scientiarum</i>, juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Jerman" title="Bahasa Jerman">bahasa Jerman</a> <i>Königin der Wissenschaften</i>, kata yang bersesuaian dengan <i>ilmu pengetahuan</i>
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa
Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini
adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna
menjadi ilmu pengetahuan <i>alam</i> adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan" title="Ilmu pengetahuan">ilmu pengetahuan</a> hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a>, bukanlah ilmu pengetahuan.<br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> menyatakan bahwa <i>"sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah
pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.</i>"<sup class="reference" id="cite_ref-certain_6-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-6">[6]</a></sup><br />
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterpalsuan&action=edit&redlink=1" title="Keterpalsuan (halaman belum tersedia)">terpalsukan</a> berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper" title="Karl Popper">Karl Popper</a>.<sup class="reference" id="cite_ref-23"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-23">[23]</a></sup>
Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika
menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan
Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti
halnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Biologi" title="Biologi">biologi</a>, adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hipotesis" title="Hipotesis">hipotetis</a>-<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deduktif&action=edit&redlink=1" title="Deduktif (halaman belum tersedia)">deduktif</a>:
oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam
yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada
sebagai hal yang baru."<sup class="reference" id="cite_ref-24"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-24">[24]</a></sup> Para bijak bestari lainnya, sebut saja <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Imre_Lakatos&action=edit&redlink=1" title="Imre Lakatos (halaman belum tersedia)">Imre Lakatos</a>, telah menerapkan satu versi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pemalsuan" title="Pemalsuan">pemalsuan</a> kepada matematika itu sendiri.<br />
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika_teoretis" title="Fisika teoretis">fisika teoretis</a>)
adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian
sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan
teoretis, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/J._M._Ziman" title="J. M. Ziman">J. M. Ziman</a>, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah <i>pengetahuan umum</i> dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<sup class="reference" id="cite_ref-25"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-25">[25]</a></sup>
Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu
pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari
beberapa anggapan. <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Intuisi_%28pengetahuan%29" title="Intuisi (pengetahuan)">Intuisi</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Percobaan" title="Percobaan">percobaan</a> juga berperan penting di dalam perumusan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur">konjektur</a>-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).<br />
<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_percobaan&action=edit&redlink=1" title="Matematika percobaan (halaman belum tersedia)">Matematika percobaan</a>
terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika,
kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat,
baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi
yang mana matematika tidak menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_ilmiah" title="Metode ilmiah">metode ilmiah</a>. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/A_New_Kind_of_Science" title="A New Kind of Science">A New Kind of Science</a></i>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram" title="Stephen Wolfram">Stephen Wolfram</a> berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Empirik" title="Empirik">empirik</a> sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.<br />
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka
macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka
sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan
sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Seni_liberal" title="Seni liberal">seni liberal</a>
tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap
ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap
fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasa" title="Rekayasa">rekayasa</a> telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.<br />
Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika <i>diciptakan</i> (seperti di dalam seni) atau <i>ditemukan</i> (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Universitas" title="Universitas">universitas</a> bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen <i>Ilmu Pengetahuan dan Matematika</i>,
ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi
mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran
praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para
ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir.
Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat_matematika" title="Filsafat matematika">filsafat matematika</a>.<br />
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari
kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di
dalam matematika adalah <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fields_Medal" title="Fields Medal">Fields Medal</a> (medali lapangan),<sup class="reference" id="cite_ref-26"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-26">[26]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-27"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-27">[27]</a></sup> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hadiah_Nobel" title="Hadiah Nobel">Hadiah Nobel</a> ilmu pengetahuan.<br />
<a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Wolf_Prize_in_Mathematics" title="Wolf Prize in Mathematics">Wolf Prize in Mathematics</a>, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hadiah_Abel" title="Hadiah Abel">Hadiah Abel</a>,
diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya,
dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di
dalam lapangan yang mapan.<br />
Sebuah daftar terkenal berisikan 23 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masalah_terbuka" title="Masalah terbuka">masalah terbuka</a>, yang disebut "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masalah_Hilbert" title="Masalah Hilbert">masalah Hilbert</a>", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>.
Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan,
dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.<br />
Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hadiah_Milenium&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hadiah Milenium (halaman belum tersedia)">Masalah Hadiah Milenium</a>", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dollar_Amerika_Serikat" title="Dollar Amerika Serikat">US$</a> 1 juta, dan hanya satu (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hipotesis_Riemann" title="Hipotesis Riemann">hipotesis Riemann</a>) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Bidang-bidang_matematika">Bidang-bidang matematika</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Abacus_6.png&filetimestamp=20050518105349"><img alt="" class="thumbimage" height="129" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Abacus_6.png/220px-Abacus_6.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Abacus_6.png&filetimestamp=20050518105349" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sempoa" title="Sempoa">sempoa</a>, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.</div>
</div>
</div>
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena
kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan
antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>.
Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan
pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran,
struktur, ruang, dan perubahan (yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika" title="Analisis matematika">analisis</a>).
Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang
dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika
ke lapangan-lapangan lain: ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">logika</a>, ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a> (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)">dasar</a>), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_terapan" title="Matematika terapan">matematika terapan</a>), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ketakpastian" title="Ketakpastian">ketakpastian</a>.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Besaran">Besaran</span></h3>
Pengkajian besaran dimulakan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a>, pertama <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="Bilangan asli">bilangan asli</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat">bilangan bulat</a> ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan">teori bilangan</a>, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Terakhir_Fermat" title="Teorema Terakhir Fermat">Teorema Terakhir Fermat</a>. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_prima_kembar&action=edit&redlink=1" title="Konjektur prima kembar (halaman belum tersedia)">konjektur prima kembar</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur_Goldbach" title="Konjektur Goldbach">konjektur Goldbach</a>.<br />
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_bagian" title="Himpunan bagian">himpunan bagian</a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional">bilangan rasional</a> ("<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Pecahan (matematika) (halaman belum tersedia)">pecahan</a>"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">bilangan real</a>, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu" title="Fungsi kontinu">kontinu</a>. Bilangan real diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">bilangan kompleks</a>. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuarternion&action=edit&redlink=1" title="Kuarternion (halaman belum tersedia)">kuarternion</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Oktonion&action=edit&redlink=1" title="Oktonion (halaman belum tersedia)">oktonion</a>. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_transfinit&action=edit&redlink=1" title="Bilangan transfinit (halaman belum tersedia)">bilangan transfinit</a>, yang memformalkan konsep pencacahan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)">ketakhinggaan</a>. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kardinal" title="Bilangan kardinal">bilangan kardinal</a> dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_aleph&action=edit&redlink=1" title="Bilangan aleph (halaman belum tersedia)">bilangan aleph</a>, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.<br />
<dl><dd>
<table cellspacing="20" style="border: 1px solid #ddd; margin: auto; text-align: center;">
<tbody>
<tr>
<td><img alt="1, 2, 3\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/6/136af90c7359909a518275461dbf3205.png" /></td>
<td><img alt="-2, -1, 0, 1, 2\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/c/9/cc9adac9d1c4e46a21b648b732c2d77e.png" /></td>
<td><img alt=" -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/b/6/9b6892bffb24f4e8eb088036e5f7efff.png" /></td>
<td><img alt="-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/2/8/3284ece3712533dd15f81d5d72899fcc.png" /></td>
<td><img alt="2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/9/759cf14c729639e5c1152dad2c4843e7.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="Bilangan asli">Bilangan asli</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat">Bilangan bulat</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional">Bilangan rasional</a></td>
<td><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">Bilangan real</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">Bilangan kompleks</a></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Ruang">Ruang</span></h3>
Pengkajian ruang bermula dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a> – khususnya, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri euclid (halaman belum tersedia)">geometri euclid</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri">Trigonometri</a> memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_pitagoras&action=edit&redlink=1" title="Teorema pitagoras (halaman belum tersedia)">Teorema pitagoras</a>
yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum
gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_tak-euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri tak-euclid (halaman belum tersedia)">geometri tak-euclid</a> (yang berperan penting di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Relativitas_umum" title="Relativitas umum">relativitas umum</a>) dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">topologi</a>. Besaran dan ruang berperan penting di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_analitik" title="Geometri analitik">geometri analitik</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_diferensial" title="Geometri diferensial">geometri diferensial</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_aljabar" title="Geometri aljabar">geometri aljabar</a>. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Buntelan_serat&action=edit&redlink=1" title="Buntelan serat (halaman belum tersedia)">buntelan serat</a> dan kalkulus <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan&action=edit&redlink=1" title="Lipatan (halaman belum tersedia)">lipatan</a>.<br />
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinom&action=edit&redlink=1" title="Polinom (halaman belum tersedia)">polinom</a>, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_topologi&action=edit&redlink=1" title="Grup topologi (halaman belum tersedia)">grup topologi</a>, yang memadukan struktur dan ruang. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_lie&action=edit&redlink=1" title="Grup lie (halaman belum tersedia)">Grup lie</a> biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">Topologi</a> di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_poincar%C3%A9&action=edit&redlink=1" title="Konjektur poincaré (halaman belum tersedia)">konjektur poincaré</a> yang telah lama ada dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_empat_warna&action=edit&redlink=1" title="Teorema empat warna (halaman belum tersedia)">teorema empat warna</a>, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.<br />
<dl><dd>
<table cellspacing="15" style="border: 1px solid #ddd; margin: auto; text-align: center;">
<tbody>
<tr>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg&filetimestamp=20061219204400"><img alt="Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg" height="104" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg/96px-Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Sine_cosine_plot.svg&filetimestamp=20090930212724"><img alt="Sine cosine plot.svg" height="64" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/96px-Sine_cosine_plot.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Hyperbolic_triangle.svg&filetimestamp=20070120075840"><img alt="Hyperbolic triangle.svg" height="64" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Hyperbolic_triangle.svg/96px-Hyperbolic_triangle.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Torus.png&filetimestamp=20061001082042"><img alt="Torus.png" height="61" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Torus.png/96px-Torus.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Mandel_zoom_07_satellite.jpg&filetimestamp=20061204214640"><img alt="Mandel zoom 07 satellite.jpg" height="72" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite.jpg/96px-Mandel_zoom_07_satellite.jpg" width="96" /></a></td>
</tr>
<tr>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">Geometri</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri">Trigonometri</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_diferensial" title="Geometri diferensial">Geometri diferensial</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">Topologi</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal" title="Fraktal">Geometri fraktal</a></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Perubahan">Perubahan</span></h3>
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam" title="Ilmu pengetahuan alam">ilmu pengetahuan alam</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a> telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)">Fungsi-fungsi</a> muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">bilangan real</a> dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_real&action=edit&redlink=1" title="Analisis real (halaman belum tersedia)">analisis real</a>, dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)">analisis kompleks</a> lapangan yang setara untuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">bilangan kompleks</a>.<br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hipotesis_Riemann" title="Hipotesis Riemann">Hipotesis Riemann</a>, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_fungsional&action=edit&redlink=1" title="Analisis fungsional (halaman belum tersedia)">Analisis fungsional</a> memusatkan perhatian pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a> fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum">mekanika kuantum</a>.<br />
Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial">persamaan diferensial</a>. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)">sistem dinamika</a>; <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kekacauan&action=edit&redlink=1" title="Teori kekacauan (halaman belum tersedia)">teori kekacauan</a> mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_deterministik_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Sistem deterministik (matematika) (halaman belum tersedia)">deterministik</a> yang masih saja belum terdugakan.<br />
<table cellspacing="20" style="border: 1px solid #ddd; margin: auto; text-align: center;">
<tbody>
<tr>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Integral_as_region_under_curve.svg&filetimestamp=20070519191408"><img alt="Integral as region under curve.svg" height="84" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/96px-Integral_as_region_under_curve.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Vector_field.svg&filetimestamp=20070607164332"><img alt="Vector field.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/96px-Vector_field.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Airflow-Obstructed-Duct.png&filetimestamp=20070501155259"><img alt="Airflow-Obstructed-Duct.png" height="69" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Airflow-Obstructed-Duct.png/96px-Airflow-Obstructed-Duct.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Limitcycle.jpg&filetimestamp=20050501095355"><img alt="Limitcycle.jpg" height="72" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Limitcycle.jpg/96px-Limitcycle.jpg" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Lorenz_attractor.svg&filetimestamp=20060104143244"><img alt="Lorenz attractor.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/96px-Lorenz_attractor.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Princ_Argument_C1.svg&filetimestamp=20110131191446"><img alt="Princ Argument C1.svg" height="76" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Princ_Argument_C1.svg/96px-Princ_Argument_C1.svg.png" width="96" /></a></td>
</tr>
<tr>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">Kalkulus</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor">Kalkulus vektor</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial">Persamaan diferensial</a></td>
<td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)">Sistem dinamika</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_chaos" title="Teori chaos">Teori chaos</a></td>
<td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)">Analisis kompleks</a></td>
</tr>
</tbody></table>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Struktur">Struktur</span></h3>
Banyak objek matematika, semisal <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29" title="Himpunan (matematika)">himpunan</a> bilangan dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)">fungsi</a>, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Grup_%28matematika%29" title="Grup (matematika)">grup</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Gelanggang (matematika) (halaman belum tersedia)">gelanggang</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)">lapangan</a> dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak">aljabar abstrak</a>. Sebuah konsep penting di sini yakni <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28geometri%29" title="Vektor (geometri)">vektor</a>, diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor">ruang vektor</a>, dan dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear" title="Aljabar linear">aljabar linear</a>. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor">Kalkulus vektor</a> memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_tensor&action=edit&redlink=1" title="Kalkulus tensor (halaman belum tersedia)">Kalkulus tensor</a> mengkaji <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kesetangkupan" title="Kesetangkupan">kesetangkupan</a> dan perilaku vektor yang di<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rotasi" title="Rotasi">rotasi</a>. Sejumlah masalah kuno tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kompas_dan_konstruksi_garis_lurus&action=edit&redlink=1" title="Kompas dan konstruksi garis lurus (halaman belum tersedia)">Kompas dan konstruksi garis lurus</a> akhirnya terpecahkan oleh <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_galois&action=edit&redlink=1" title="Teori galois (halaman belum tersedia)">Teori galois</a>.<br />
<dl><dd>
<table cellspacing="15" style="border: 1px solid #ddd; margin: auto; text-align: center;">
<tbody>
<tr>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Elliptic_curve_simple.svg&filetimestamp=20080712070639"><img alt="Elliptic curve simple.svg" height="107" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Elliptic_curve_simple.svg/96px-Elliptic_curve_simple.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Rubik%27s_cube.svg&filetimestamp=20080305215309"><img alt="Rubik's cube.svg" height="100" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/96px-Rubik%27s_cube.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Group_diagdram_D6.svg&filetimestamp=20061003155826"><img alt="Group diagdram D6.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Group_diagdram_D6.svg/96px-Group_diagdram_D6.svg.png" width="96" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg&filetimestamp=20060523140017"><img alt="Lattice of the divisibility of 60.svg" height="77" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/96px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png" width="96" /></a></td>
</tr>
<tr>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan">Teori bilangan</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak">Aljabar abstrak</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup" title="Teori grup">Teori grup</a></td>
<td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_orde&action=edit&redlink=1" title="Teori orde (halaman belum tersedia)">Teori orde</a></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Dasar_dan_filsafat">Dasar dan filsafat</span></h3>
Untuk memeriksa <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)">dasar-dasar matematika</a>, lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">logika matematika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a> dikembangkan, juga <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori">teori kategori</a>
yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan
pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dasawarsa" title="Dasawarsa">dasawarsa</a> 1900-an sampai 1930-an.<sup class="reference" id="cite_ref-28"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-28">[28]</a></sup>
Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga
kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu,
termasuk <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_teori_Cantor&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi teori Cantor (halaman belum tersedia)">kontroversi teori himpunan Cantor</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_Brouwer-Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi Brouwer-Hilbert (halaman belum tersedia)">kontroversi Brouwer-Hilbert</a>.<br />
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiom&action=edit&redlink=1" title="Aksiom (halaman belum tersedia)">aksiomatis</a> yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teori ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)">Teori ketaklengkapan kedua Gödel</a>, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_formal&action=edit&redlink=1" title="Sistem formal (halaman belum tersedia)">sistem formal</a> yang berisi aritmetika dasar, jika <i>suara</i> (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka <i>tak-lengkap</i> (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan <i>di dalam sistem itu</i>).<br />
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sembarang&action=edit&redlink=1" title="Sembarang (halaman belum tersedia)">sembarang</a>
kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan
formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta
teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu,
tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan
sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_rekursi&action=edit&redlink=1" title="Teori rekursi (halaman belum tersedia)">teori rekursi</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_model&action=edit&redlink=1" title="Teori model (halaman belum tersedia)">teori model</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_pembuktian&action=edit&redlink=1" title="Teori pembuktian (halaman belum tersedia)">teori pembuktian</a>, dan terpaut dekat dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer">ilmu komputer</a> <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmu_komputer_teoretis&action=edit&redlink=1" title="Ilmu komputer teoretis (halaman belum tersedia)">teoretis</a>.<br />
<dl><dd>
<table cellspacing="15" style="border: 1px solid #ddd; margin: auto; text-align: center;">
<tbody>
<tr>
<td><img alt=" p \Rightarrow q \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/4/a644166cefb23015623cb1670becf7b2.png" /></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Venn_A_intersect_B.svg&filetimestamp=20110302101630"><img alt="Venn A intersect B.svg" height="91" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/128px-Venn_A_intersect_B.svg.png" width="128" /></a></td>
<td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Commutative_diagram_for_morphism.svg&filetimestamp=20061202205827"><img alt="Commutative diagram for morphism.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/96px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" width="96" /></a></td>
</tr>
<tr>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">Logika matematika</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">Teori himpunan</a></td>
<td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori">Teori kategor</a></td></tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-9485467008871097912012-12-02T04:13:00.003-08:002012-12-02T04:13:46.156-08:00Materi Pembelajaran Kombinasi dan Permutasi<b>Kombinasi</b> adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.<br />
{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.<br />
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop
dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan
amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah
amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?<br />
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.<br />
Sedangkan <b>permutasi</b> adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.<br />
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}<br />
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah,
hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola
secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi
yang terjadi?<br />
Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.<br />
Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Probabilitas" title="Probabilitas">probabilitas</a> suatu kejadian<br />
<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Permutasi_pengulangan">Permutasi pengulangan</span></h3>
Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:<br />
<dl><dd><img alt=" n^r \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/b/00beef9e96f6409ab6886b8cb319785f.png" /></dd></dl>
di mana <b>n</b> adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan <b>r</b> adalah jumlah yang harus dipilih.<br />
Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu
ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup
yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 4<sup>3</sup> atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Permutasi_tanpa_pengulangan">Permutasi tanpa pengulangan</span></h3>
Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa
dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{n!}{(n-r)!} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/2/4/7248d18a4d4d1e88e629a6e8c057106e.png" /></dd></dl>
di mana <b>n</b> adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, <b>r</b> adalah jumlah yang harus dipilih dan <b>!</b> adalah simbol <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial">faktorial</a>.<br />
Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi.
Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak
akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara
kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat
suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil
pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas
maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.<br />
Umpamakan jika <b>n</b> = <b>r</b> (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf122faefda7df0f6ad6e2106aa4c5e9.png" /> karena 0! = 1! = 1</dd></dl>
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak
kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak
kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak
cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5!
= 120 permutasi.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Kombinasi_tanpa_pengulangan">Kombinasi tanpa pengulangan</span></h3>
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada
hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:<br />
<dl><dd><img alt="{{n!} \over {r!(n - r)!}} = {n \choose r}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/f/d/8fdfc50e09bc3c1b2f43aef38f300b01.png" /></dd></dl>
Di mana <b>n</b> adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan <b>r</b> adalah jumlah yang harus dipilih.<br />
Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang
berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin
membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna.
Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada?
Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Kombinasi_pengulangan">Kombinasi pengulangan</span></h3>
Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:<br />
<dl><dd><img alt="{{(n + r - 1)!} \over {r!(n - 1)!}} = {{n + r - 1} \choose {r}} = {{n + r - 1} \choose {n - 1}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/d/d1d6f647a0da746c2b56f1cb28a3e807.png" /></dd></dl>
Di mana <b>n</b> adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan <b>r</b>
adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke
sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda.
Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah
(10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.<br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-3307844709246558252012-12-02T04:10:00.001-08:002012-12-02T04:10:04.729-08:00Materi Pembelajaran Perkalian Vektor<b>Perkalian vektor</b> adalah operasi perkalian dengan dua <i>operand</i> (obyek yang dikalikan) berupa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor">vektor</a>. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (<i>dot product</i>), perkalian silang (<i>cross product</i>) dan perkalian langsung (<i>direct product</i>).<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Perkalian_titik">Perkalian titik</span></h2>
Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.<br />
<dl><dd><img alt="\! \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/f/4/4f426c1f4f9013234f37ef2f43bb6006.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt=" = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/8/6d8efb11d50e725f6df6ca8b417308e4.png" /></dd></dl>
Untuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_satuan" title="Vektor satuan">vektor satuan</a>
terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik,
yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="\hat{i} \cdot \hat{i} = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/b/f/dbf58eb0cb38db04883d8bb4fb03a714.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt="\hat{j} \cdot \hat{j} = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/4/0c42c1cd07cfde07fbb5ef11cad9d879.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt="\hat{k} \cdot \hat{k} = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/0/4/e0409b8711a275bdcf41219be87bb333.png" /></dd></dl>
dan<br />
<dl><dd><img alt="\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/b/dab59b9ee4b4d4734b30d2d64c43e893.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt="\hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/0/130231ff6f60bf4309434244a6853cc4.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt="\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/a/eaa0aa9cd332f59cc48d6e54a1be2f0a.png" /></dd></dl>
Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Delta_Kronecker" title="Delta Kronecker">delta Kronecker</a> <img alt="\!\delta_{mn}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/f/75f08a275926d777bbbdbe268d9183da.png" />, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="\hat{m} \cdot \hat{n} = \delta_{mn}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/4/f/54f26cf219723cfeb3cdab4d2f39afe2.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Perkalian_silang">Perkalian silang</span></h2>
Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.<br />
<dl><dd><img alt="\vec{A} \times \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/1/231921ee58370cd86f616ad450b3c0f4.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt=" = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/e/0/ae0bbf7bd48c392c394280499b5ba0cd.png" /></dd></dl>
Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/7/c/47c1d5912ec997b9ee6c41a1d8d9802e.png" /></dd><dd><img alt="\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/0/6802cb74ec5ae88be430e389458d4ad6.png" /></dd><dd><img alt="\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/0/6/60656eaced0aa34c1c9d5a082542628d.png" /></dd></dl>
dan<br />
<dl><dd><img alt="\hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/7/6/d7654a50f154374a0faf44c545cdf059.png" /></dd><dd><img alt="\hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/4/e/e4e5da0e2553c807c078c82ed1b4e555.png" /></dd><dd><img alt="\hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j}." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e157c92fac4aadf78b3555425d148973.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Perkalian_langsung">Perkalian langsung</span></h2>
Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.<br />
<dl><dd><img alt="\vec{A} \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/a/d1acd947c4a234c15eb81bcaee2a373a.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt=" = \hat{i} (a_x b_x) \hat{i} + \hat{i} (a_x b_y) \hat{j} + \hat{i} (a_x b_z) \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/f/5/af5e8e09e1eb8d52fd5cf2ff066841bf.png" /></dd><dd><img alt=" + \hat{j} (a_y b_x) \hat{i} + \hat{j} (a_y b_y) \hat{j} + \hat{j} (a_y b_z) \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/4/c/74c8760a7329ba53017a8eb8af78a68a.png" /></dd><dd><img alt=" + \hat{k} (a_z b_x) \hat{i} + \hat{k} (a_z b_y) \hat{j} + \hat{k} (a_z b_z) \hat{k}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/2/352cf01af42b765d720a69d413d08bbe.png" /></dd></dl>
Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.<br />
<dl><dd><img alt="(\hat{a})(\hat{b}) = \hat{a} \hat{b}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/f/0/3f07ee382136a9ee95c491375aeb9f0a.png" /></dd><dd><img alt="\hat{a} \hat{b} \neq \hat{b} \hat{a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/5/7f56a6c457f4ef32fe6fa7bb58e38d45.png" /></dd></dl>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-47981967908283859312012-12-02T04:06:00.001-08:002012-12-02T04:06:27.645-08:00Materi Pembelajaran KerucutDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a>, <b>kerucut</b> adalah sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Limas" title="Limas">limas</a> istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.<br />
Sisi tegak kerucut tidak berupa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga" title="Segitiga">segitiga</a> tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.<br />
<br />
<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Kerucut.JPG&filetimestamp=20080705211458"><img alt="" class="thumbimage" height="272" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/5/5c/Kerucut.JPG/220px-Kerucut.JPG" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus_kerucut">Rumus kerucut</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_alas">Luas alas</span></h3>
<img alt="L = \pi r^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/1/1/f11b3436891fe7b2691562366c6c20e8.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_selimut">Luas selimut</span></h3>
<img alt="L = \pi\ r\ s" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/a/a/3aabab413c89242f850e04ff796072c4.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_permukaan">Luas permukaan</span></h3>
<img alt="L = \ LuasLingkaran + LuasSelimut" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/5/c95c7e8014eca5fbcb514a46130bf825.png" /><br />
<img alt=" = \pi r^2 + \pi\cdot r\cdot s" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/b/46bb8f608d3571c2bf074f575f77db0c.png" />, atau<br />
<img alt=" = \pi r\cdot (r + s)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/a/5/8a5f59aadee1c7372875d16abc6ac95f.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Volume">Volume</span></h3>
<img alt="V = \frac{1}{3}\cdot \pi r^2 \cdot t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/f/d/cfd2a9cd39f87064bbffed00bb0c4719.png" /><br />
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Kerucut.JPG&filetimestamp=20080705211458" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
</div>
</div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-77353968707588407712012-12-02T04:02:00.000-08:002012-12-02T04:02:55.305-08:00Materi Pembelajaran TabungDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a>, <b>tabung</b> atau <b>silinder</b> adalah bangun ruang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tiga_dimensi" title="Tiga dimensi">tiga dimensi</a> yang dibentuk oleh dua buah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="Lingkaran">lingkaran</a> <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identik&action=edit&redlink=1" title="Identik (страница не существует)">identik</a> yang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sejajar&action=edit&redlink=1" title="Sejajar (страница не существует)">sejajar</a> dan sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persegi_panjang" title="Persegi panjang">persegi panjang</a> yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.<br />
Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.<br />
<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus_hitung_silinder">Rumus hitung silinder</span></h2>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_alas_pada_silinder">Luas alas pada silinder</span></h3>
<img alt="L = \pi r^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/1/1/f11b3436891fe7b2691562366c6c20e8.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_selimut">Luas selimut</span></h3>
<img alt="L = 2 \ \pi r \ h" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/6/9367828744acc073e1c6ca2252d827cb.png" /><br />
<pre>....
</pre>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_permukaan">Luas permukaan</span></h3>
<img alt="L = 2\cdot LuasLingkaran + LuasSelimut" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/7/6/b761c2deb1822bbe7f53effcdf420000.png" /><br />
<img alt=" = 2\cdot \pi r^2 + 2 \pi r \cdot t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/6/b/26bf3186f9a30a22d1061ade905517aa.png" />, atau<br />
<img alt=" = 2\cdot \pi r\cdot (r + t)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/c/d/5cd2afe374a2af1a3b1e08d743c2ea25.png" /><br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Volume">Volume</span></h3>
<img alt="V = \pi r^2 \cdot t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/8/d182b1cad7c555cb77ca1e9287d7b199.png" /><br />
<img alt="= \frac{1}{4} \pi d^2 \cdot t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/6/da69e8a42f39ebde14e4c2bd6e5a1452.png" />
<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cylinder_geometry.svg"><img alt="" class="thumbimage" height="434" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Cylinder_geometry.svg/220px-Cylinder_geometry.svg.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cylinder_geometry.svg" title="Увеличить"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
</div>
</div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-26839395816905742892012-12-02T03:58:00.001-08:002012-12-02T03:58:20.637-08:00Matreri Ruang Dimensi DuaDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>dimensi</b> dari suatu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a> atau <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Obyek_matematika&action=edit&redlink=1" title="Obyek matematika (halaman belum tersedia)">obyek</a> secara informal diartikan sebagai jumlah minimal <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat" title="Koordinat">koordinat</a> yang dibutuhkan untuk menentukan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29" title="Titik (geometri)">titik-titik</a> yang ada di dalamnya.<sup class="reference" id="cite_ref-0"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dimensi#cite_note-0">[1]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dimensi#cite_note-1">[2]</a></sup> Jadi, sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Garis_%28geometri%29" title="Garis (geometri)">garis</a>
memiliki dimensi karena hanya satu koordinat yang dibutuhkan untuk
menentukan suatu titik di permukaannya (misalnya titik di garis angka
5). <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Permukaan&action=edit&redlink=1" title="Permukaan (halaman belum tersedia)">Permukaan</a> seperti <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Bidang (matematika) (halaman belum tersedia)">bidang</a> atau permukaan suatu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tabung_%28geometri%29" title="Tabung (geometri)">tabung</a> atau <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sfer&action=edit&redlink=1" title="Sfer (halaman belum tersedia)">sfer</a>
memiliki dimensi keduanya karena dibutuhkan dua koordinat untuk
menentukan titik pada permukaannya (misalnya untuk menentukan titik di
permukaan dibutuhkan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lintang" title="Lintang">lintang</a> dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bujur" title="Bujur">bujurnya</a>). Bagian dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kubus" title="Kubus">kubus</a>, tabung atau sfer bersifat tiga dimensi karena dibutuhkan tiga koordinat untuk menentukan suatu titik di dalam ruangnya.<br />
Dalam istilah fisika, <i>dimensi</i> merujuk pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur" title="Struktur">struktur</a> konstituen dari semua ruang (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Volum&action=edit&redlink=1" title="Volum (halaman belum tersedia)">volum</a>) dan posisinya dalam waktu (dipersepsikan sebagai dimensi skalar di sepanjang sumbu <i>t</i>), serta cakupan spasial obyek-obyek di dalamnya – struktur yang memiliki korelasi dengan konsep <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dualitas_gelombang-partikel" title="Dualitas gelombang-partikel">partikel dan medan</a> yang berinteraksi sesuai relativitas <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Massa" title="Massa">massa</a>
dan pada dasarnya bersifat matematis. Sumbu ini atau sumbu lainnya
dapat diarahkan untuk mengidentifikasi suatu titik atau struktur dalam
tanggapan dan hubungannya terhadap obyek lain. Teori fisika yang
mencakup unsur <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu" title="Waktu">waktu</a> (misalnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Relativitas_umum" title="Relativitas umum">relativitas umum</a>) dianggap terjadi dalam "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang_waktu&action=edit&redlink=1" title="Ruang waktu (halaman belum tersedia)">ruang waktu</a>" empat dimensi yang didefinisikan sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_Minkowski" title="Ruang Minkowski">ruang Minkowski</a>). Teori modern cenderung lebih "berdimensi tinggi", termasuk teori <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_medan_kuantum&action=edit&redlink=1" title="Teori medan kuantum (halaman belum tersedia)">medan kuantum</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_string&action=edit&redlink=1" title="Teori string (halaman belum tersedia)">string</a>. Ruang tetap <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum">mekanika kuantum</a> adalah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang_fungsi&action=edit&redlink=1" title="Ruang fungsi (halaman belum tersedia)">ruang fungsi</a> berdimensi tidak terbatas.<br />
Konsep dimensi tidak dibatasi hingga benda fisik saja. Ruang
berdimensi tinggi sering muncul dalam matematika dan ilmu pengetahuan
atas berbagai alasan, terutama dalam bentuk <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang_konfigurasi&action=edit&redlink=1" title="Ruang konfigurasi (halaman belum tersedia)">ruang konfigurasi</a> sebagaimana <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mekanika_Lagrange&action=edit&redlink=1" title="Mekanika Lagrange (halaman belum tersedia)">mekanika Lagrange</a> atau <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mekanika_Hamilton&action=edit&redlink=1" title="Mekanika Hamilton (halaman belum tersedia)">Hamilton</a>; keduanya adalah ruang abstrak dan terbebas dari ruang fisik yang ditempati manusia.<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 402px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Squarecubetesseract.png&filetimestamp=20080310142852"><img alt="" class="thumbimage" height="131" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Squarecubetesseract.png/400px-Squarecubetesseract.png" width="400" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Squarecubetesseract.png&filetimestamp=20080310142852" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf1/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Dari kiri ke kanan, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persegi_%28geometri%29&action=edit&redlink=1" title="Persegi (geometri) (halaman belum tersedia)">persegi</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kubus" title="Kubus">kubus</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teserak&action=edit&redlink=1" title="Teserak (halaman belum tersedia)">teserak</a>. Persegi dikelilingi oleh garis 1 dimensi, kubus oleh bidang 2 dimensi, dan teserak oleh volum 3 dimensi. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyeksi_%28aljabar_linier%29&action=edit&redlink=1" title="Proyeksi (aljabar linier) (halaman belum tersedia)">Proyeksi</a>
kubus terjadi karena ditampilkan pada layar dua dimensi. Hal yang sama
berlaku pada teserak, yang hanya bisa dilihat sebagai proyeksi bahkan
dalam ruang tiga dimensi.</div>
</div>
</div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 402px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Dimension_levels.svg&page=1&filetimestamp=20090714155923"><img alt="" class="thumbimage" height="133" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Dimension_levels.svg/400px-Dimension_levels.svg.png" width="400" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Dimension_levels.svg&filetimestamp=20090714155923" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf1/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Diagram yang memperlihatkan empat dimensi ruang pertama.</div>
</div>
</div>
Dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>dimensi</b> dari suatu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a> atau <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Obyek_matematika&action=edit&redlink=1" title="Obyek matematika (halaman belum tersedia)">obyek</a> secara informal diartikan sebagai Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-69944731670076915122012-12-02T03:53:00.003-08:002012-12-02T03:53:41.176-08:00Materi Pembelajaran PolinomialDalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>polinomial</b> atau <b>suku banyak</b> (juga ditulis <b>sukubanyak</b>)
adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat
dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial
dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti
berikut:<br />
<dl><dd><img alt="
a_nx^n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/f/f/2ff3dd3d3d29d2cf4a76cf9a06ac6023.png" /></dd></dl>
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan <i>orde</i> atau derajat dari polinomial tersebut.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Grafik_polinomial">Grafik polinomial</span></h2>
Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafik_fungsi&action=edit&redlink=1" title="Grafik fungsi (halaman belum tersedia)">grafik fungsi</a>.<br />
<ul>
<li>Grafik dari polinomial nol</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = 0</dd></dl>
</dd><dd>adalah sumbu <i>x</i>.</dd></dl>
<ul>
<li>Grafik dari polinomial berderajat nol</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub>, dimana <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0,</dd></dl>
</dd><dd>adalah garis horizontal dengan <i>y</i> memotong <i>a</i><sub>0</sub></dd></dl>
<ul>
<li>Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> , dengan <i>a</i><sub>1</sub> ≠ 0,</dd></dl>
</dd><dd>adalah berupa garis miring dengan <i>y</i> memotong di <i>a</i><sub>0</sub> dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kemiringan&action=edit&redlink=1" title="Kemiringan (halaman belum tersedia)">kemiringan</a> sebesar <i>a</i><sub>1</sub>.</dd></dl>
<ul>
<li>Grafik dari polinomial berderajat dua</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup>2</sup>, dengan <i>a</i><sub>2</sub> ≠ 0</dd></dl>
</dd><dd>adalah berupa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Parabola" title="Parabola">parabola</a>.</dd></dl>
<ul>
<li>Grafik dari polinomial berderajat tiga</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup>2</sup>, + <i>a</i><sub>3</sub><i>x</i><sup>3</sup>, dengan <i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0</dd></dl>
</dd><dd>adalah berupa kurva pangkat 3.</dd></dl>
<ul>
<li>Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup>2</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i></sub><i>x</i><sup><i>n</i></sup> , dengan <i>a</i><sub><i>n</i></sub> ≠ 0 and <i>n</i> ≥ 2</dd></dl>
</dd><dd>adalah berupa kurva non-linear.</dd></dl>
Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.<br />
<ul class="gallery" style="_width: 729px; max-width: 729px;">
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 15px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Polynomialdeg2.svg&filetimestamp=20080830130349"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/120px-Polynomialdeg2.svg.png" width="120" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 2:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>2</sup> - <i>x</i> - 2 = (<i>x</i>+1)(<i>x</i>-2)<br />
</div>
</div>
</li>
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 15px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Polynomialdeg3.svg&filetimestamp=20080830130232"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/120px-Polynomialdeg3.svg.png" width="120" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 3:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>3</sup>/4 + 3<i>x</i><sup>2</sup>/4 - 3<i>x</i>/2 - 2 = 1/4 (<i>x</i>+4)(<i>x</i>+1)(<i>x</i>-2)<br />
</div>
</div>
</li>
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 15px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Polynomialdeg4.svg&filetimestamp=20110523155331"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/archive/3/3c/20121012215419%21Polynomialdeg4.svg/144px-Polynomialdeg4.svg.png" width="144" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 4:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = 1/14 (<i>x</i>+4)(<i>x</i>+1)(<i>x</i>-1)(<i>x</i>-3) + 0.5<br />
</div>
</div>
</li>
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 15px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Polynomialdeg5.svg&filetimestamp=20090907213047"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/156px-Polynomialdeg5.svg.png" width="156" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 5:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = 1/20 (<i>x</i>+4)(<i>x</i>+2)(<i>x</i>+1)(<i>x</i>-1)(<i>x</i>-3) + 2<br />
</div>
</div>
</li>
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 15px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Sextic_Graph.png&filetimestamp=20091121175332"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Sextic_Graph.png/151px-Sextic_Graph.png" width="151" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 6:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = 1/30 (<i>x</i>+3.5)(<i>x</i>+2)(<i>x</i>+1)(<i>x</i>-1)(<i>x</i>-3)(<i>x</i>-4) + 2<br />
</div>
</div>
</li>
<li class="gallerybox" style="width: 235px;">
<div style="width: 235px;">
<div class="thumb" style="width: 230px;">
<div style="margin: 24.5px auto;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Septic_Graph.gif&filetimestamp=20120618084531"><img alt="" height="101" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/5/5f/Septic_Graph.gif/200px-Septic_Graph.gif" width="200" /></a></div>
</div>
<div class="gallerytext">
Polinomial berderajat 7:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i>-3)(<i>x</i>-2)(<i>x</i>-1)(<i>x</i>)(<i>x</i>+1)(<i>x</i>+2)(<i>x</i>+3)<br />
</div>
</div>
</li>
</ul>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Polinomial_dan_kalkulus">Polinomial dan kalkulus</span></h2>
<div class="dablink noprint">
<img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/archive/e/ec/20121002135152%21Crystal_Clear_app_xmag.svg/20px-Crystal_Clear_app_xmag.svg.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_dengan_polinomial&action=edit&redlink=1" title="Kalkulus dengan polinomial (halaman belum tersedia)">Kalkulus dengan polinomial</a></div>
Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial<br />
<dl><dd><img alt="\sum_{i=0}^n a_i x^i" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/2/7/f27a2ba683c642c5c52edf45476d4709.png" /></dd></dl>
maka turunan terhadap <i>x</i> adalah<br />
<dl><dd><img alt="\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/7/8/278f67eaeb74109077a759624cacb1d0.png" /></dd></dl>
dan integral tak tentu terhadap <i>x</i> adalah<br />
<dl><dd><img alt="\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/1/a/71a3b3f7eb1d1f4004a77a65ba9a44fd.png" /></dd></dl>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-84568766566983690662012-12-02T03:49:00.001-08:002012-12-02T03:49:14.967-08:00Materi Pembelajaran Logaritma<b>Logaritma</b> adalah operasi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a> yang merupakan kebalikan dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Eksponen" title="Eksponen">eksponen</a> atau <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemangkatan&action=edit&redlink=1" title="Pemangkatan (halaman belum tersedia)">pemangkatan</a>.<br />
Rumus dasar logaritma:<br />
b<sup>c</sup>= a ditulis sebagai <sup>b</sup>log a = c (b disebut basis)<br />
Beberapa orang menuliskan <sup>b</sup>log a = c sebagai log<sub>b</sub>a = c.<br />
<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Mencari_nilai_logaritma">Mencari nilai logaritma</span></h2>
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:<br />
<ul>
<li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tabel" title="Tabel">Tabel</a></li>
<li><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">Kalkulator</a> (yang sudah dilengkapi fitur log)</li>
</ul>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus">Rumus</span></h2>
<table style="font-size: 100%; text-align: center; vertical-align: middle; width: 28em;">
<caption><span style="font-size: 10pt;"><b>Logaritma</b></span></caption>
<tbody>
<tr>
<td colspan="3" style="text-align: center;"><br /></td>
</tr>
<tr bgcolor="#CCEECC" style="text-align: center;">
<th style="vertical-align: middle;">a<sup>c</sup> = b → ª log b = c</th>
</tr>
<tr bgcolor="#D9E8FF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">a = basis</td>
</tr>
<tr bgcolor="#D9E8FF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">b = bilangan yang dilogaritma</td>
</tr>
<tr bgcolor="#D9E8FF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">c = hasil logaritma</td>
</tr>
<tr bgcolor="#CCEECC" style="text-align: center;">
<th style="vertical-align: middle;">Sifat-sifat Logaritma</th>
</tr>
<tr bgcolor="#DDDDFF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log a = 1</td>
</tr>
<tr bgcolor="#FFDDDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log 1 = 0</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDFFDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log aⁿ = n</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDDDFF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log bⁿ = n • ª log b</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDFFDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log b • c = ª log b + ª log c</td>
</tr>
<tr bgcolor="#FFDDDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log <sup>b</sup>/c = ª log b – ª log c</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDDDFF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ªˆⁿ log b <sup>m</sup> = <sup>m</sup>/n • ª log b</td>
</tr>
<tr bgcolor="#FFDDDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log b = 1 ÷ <sup>b</sup> log a</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDFFDD" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log b • <sup>b</sup> log c • <sup>c</sup> log d = ª log d</td>
</tr>
<tr bgcolor="#DDDDFF" style="text-align: left;">
<td style="vertical-align: middle;">ª log b = <sup>c</sup> log b ÷ <sup>c</sup> log a</td>
</tr>
</tbody></table>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Kegunaan_logaritma">Kegunaan logaritma</span></h2>
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya
tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma
sering digunakan sebagai solusi dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral">integral</a>. Dalam persamaan <i>b</i><sup><i>n</i></sup> = <i>x</i>, <i>b</i> dapat dicari dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Akar (matematika) (halaman belum tersedia)">pengakaran</a>, <i>n</i> dengan logaritma, dan <i>x</i> dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_eksponensial" title="Fungsi eksponensial">fungsi eksponensial</a>.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Sains_dan_teknik">Sains dan teknik</span></h3>
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan
dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat
dilihat di <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Skala_logaritmik&action=edit&redlink=1" title="Skala logaritmik (halaman belum tersedia)">skala logaritmik</a>.<br />
<ul>
<li>Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kimia" title="Kimia">kimia</a> untuk mengekspresikan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konsentrasi" title="Konsentrasi">konsentrasi</a> ion hidronium (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/PH" title="PH">pH</a>). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Air" title="Air">air</a> adalah 10<sup>−7</sup> pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.</li>
</ul>
<ul>
<li>Satuan <i>bel</i> (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Daya" title="Daya">daya</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tegangan&action=edit&redlink=1" title="Tegangan (halaman belum tersedia)">tegangan</a>. Kebanyakan digunakan dalam bidang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Telekomunikasi" title="Telekomunikasi">telekomunikasi</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elektronik" title="Elektronik">elektronik</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Akustik" title="Akustik">akustik</a>. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Telinga" title="Telinga">telinga</a> manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Alexander_Graham_Bell" title="Alexander Graham Bell">Alexander Graham Bell</a>, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Desibel" title="Desibel">desibel</a> (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.</li>
</ul>
<ul>
<li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Skala_Richter" title="Skala Richter">Skala Richter</a> mengukur intensitas <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gempa_bumi" title="Gempa bumi">gempa bumi</a> dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.</li>
</ul>
<ul>
<li>Dalam astronomi, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Magnitudo" title="Magnitudo">magnitudo</a> yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mata" title="Mata">mata</a> manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.</li>
</ul>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Penghitungan_yang_lebih_mudah">Penghitungan yang lebih mudah</span></h3>
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke
pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa
jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::<br />
<table style="border: 1px solid; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<tbody>
<tr style="text-align: center;">
<th>Penghitungan dengan angka</th>
<th>Penghitungan dengan eksponen</th>
<th>Identitas Logaritma</th>
</tr>
<tr style="text-align: center;">
<td><img alt=" \!\, a b " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66d6115b0b473ed6d4d9216d05e1a9b8.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, A + B " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/a/3baa44f4b9b1424fdfc4bd3cbdc7d919.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/9/9/99978df6f94786890011df094a7e280a.png" /></td>
</tr>
<tr style="text-align: center;">
<td><img alt=" \!\frac{a}{b} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/e/a/5ea44326abc962ba98e96a58b678044a.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, A - B " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/a/84a7071c4e8f6e2e93982835cae37c67.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/3/2/7322892d50da740b9d44527ef5e01a7d.png" /></td>
</tr>
<tr style="text-align: center;">
<td><img alt=" \!\, a ^ b " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/c/ffc8ba2bd5a93d23b7d2c1da6b66d5bc.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, A b " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/4/f641f81db2b94e69cc4daf89f729920b.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, \log(a ^ b) = b \log(a) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/6/c/36c015e74254db0139536ed526da0c96.png" /></td>
</tr>
<tr style="text-align: center;">
<td><img alt=" \!\, \sqrt[b]{a} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/3/4/53461f66c006c3895b99f26c37688dea.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, \frac{A}{b} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/f/fff733fdf4e64c40a858ee3a594eeba0.png" /></td>
<td><img alt=" \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/7/f678f8a14d7cc1e5fb5f20825525e009.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi
lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum
tersedianya <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">kalkulator</a> sebagai hasil perkembangan teknologi modern.<br />
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma
masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog
jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari
sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel,
lalu hanya mengkali atau membagi dengan <i>radix</i> pangkat atau akar tersebut.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Kalkulus">Kalkulus</span></h3>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan" title="Turunan">Turunan</a> fungsi logaritma adalah<br />
<dl><dd><img alt="\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/8/7/d8709a84312354232dac71cf05168358.png" /></dd></dl>
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis <i>e</i>. Jika <i>b</i> = <i>e</i>, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi<br />
<dl><dd><img alt="\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/d/3bdda0c4772ce5a8a12cb580f43e6176.png" /></dd></dl>
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral">Integral</a> fungsi logaritma adalah<br />
<dl><dd><img alt="\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/1/6e19f187b231877c7f2eebcd6fc68c40.png" /></dd></dl>
Integral logaritma berbasis e adalah<br />
<dl><dd><img alt="\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/6/1/361d10b6bf3b924267d2b2be479986c7.png" /></dd></dl>
Sebagai contoh carilah turunan<br />
<dl><dd><img alt="\log(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/35319e6954e9987cf704e924e3b930f2.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Penghitungan_nilai_logaritma">Penghitungan nilai logaritma</span></h2>
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.<br />
<dl><dd><img alt=" \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ atau } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/1/2/a12955cff8ecbed5fa737ebe53f9ddd4.png" /></dd></dl>
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat
prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan,
pengurangan, pengkalian, dan pembagian.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-31016468882695887002012-12-02T03:40:00.002-08:002012-12-02T03:40:25.153-08:00Materi Pembelajaran Persamaan Linear<b>Persamaan linear</b> adalah sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan" title="Persamaan">persamaan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Variabel" title="Variabel">variabel</a> tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius" title="Sistem koordinat Kartesius">Sistem koordinat Kartesius</a>.<br />
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:FuncionLineal02.svg"><img alt="" class="thumbimage" height="220" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/FuncionLineal02.svg/220px-FuncionLineal02.svg.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:FuncionLineal02.svg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)</div>
</div>
</div>
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah<br />
<dl><dd><img alt="y = mx + b.\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/6/fb68c169aa24bd4e132ce3bf3ee2b031.png" /></dd></dl>
Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan
konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain,
seperti <i>x</i><sup>3</sup>, <i>y</i><sup>1/2</sup>, dan <img alt="xy" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/4/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png" /> bukanlah persamaan linear.<br />
<br />
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:<br />
<dl><dd><img alt="x + 2y = 10,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/1/c41462bf54c5d9b04a6b9779933537e2.png" />,</dd><dd><img alt="3b + 5c = 4d+ 20,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/a/55a50360c2bfb8ecc5a567f8bf164599.png" />,</dd><dd><img alt="5x - 3y +6 = -9x + 8y+ 4,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/c/efc36ea1b1947ba27963c654e4a38b0c.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Variabel">Sistem Persamaan Linear Dua Variabel</span></h2>
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis
dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih
sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta,
dan x dan y adalah variabelnya.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Bentuk_Umum">Bentuk Umum</span></h3>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="Ax + By + C = 0,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/7/fe70eb55a73ac2c2797af797140ceda9.png" /></dd></dl>
</dd><dd>dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai <i>A</i>
≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta
tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan
menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam
sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila <i>A</i> ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-<i>x</i>adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (<i>y</i> = 0) yang digambarkan dengan rumus <i>-c/a</i>. Bila <i>B</i>≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- <i>y</i> adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (<i>x</i> = 0), yang digambarkan dengan rumus <i>-c/b</i>.</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Bentuk_standar">Bentuk standar</span></h3>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="ax + by = c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/8/938275339ba2e919c503a9bc7a094357.png" /></dd></dl>
</dd><dd>di mana, <i>a</i> dan <i>b</i> jika dijumlahkan, tidak menghasilkan
angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah
ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila <i>a</i> dan <i>b</i> adalah nol.</dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Bentuk_titik_potong_gradien">Bentuk titik potong gradien</span></h3>
<h4>
<span class="mw-headline" id="Sumbu-y">Sumbu-y</span></h4>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="y = mx + b,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d24ebc87176b242c935535a363c5fc10.png" /></dd></dl>
</dd><dd>dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat <i>y</i> adalah persilangan dari sumbu-<i>y</i>. Ini dapat digambarkan dengan <i>x = 0</i>, yang memberikan nilai <i>y = b</i>. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-<i>y</i>, dimana telah diketahui nilai dari x. <i>Y</i> dalam rumus tersebut merupakan koordinat <i>y</i> yang anda taruh di grafik. Sedangkan <i>X</i> merupakan koordinat <i>x</i> yang anda taruh di grafik.</dd></dl>
<h4>
<span class="mw-headline" id="Sumbu-x">Sumbu-x</span></h4>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="x = \frac{y}{m} + c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/2/9d28e625a19c92f6e4d399c9ef16b5e2.png" /></dd></dl>
</dd><dd>dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan <i>c</i> adalah titik potong-<i>x</i>, dan titik koordinat <i>x</i> adalah persilangan dari sumbu-<i>x</i>. Ini dapat digambarkan dengan <i>y = 0</i>, yang memberikan nilai <i>x = c</i>. Bentuk <i>y/m</i> dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan <i>y</i>. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat <i>x</i>, dimana nilai <i>y</i> sudah diberikan.</dd></dl>
ء-<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Sistem_persamaan_linear_lebih_dari_dua_variabel">Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel</span></h2>
Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:<br />
<dl><dd><img alt="a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/8/e/d8ea72a9337f856e607ad2b87c3c6656.png" /></dd></dl>
di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa <i>a</i><sub>1</sub> adalah koefisien untuk variabel pertama, <i>x</i><sub>1</sub>, dan <i>n</i> merupakan jumlah variabel total, serta <i>b</i> adalah konstanta<br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-25627612770061890602012-12-02T03:37:00.002-08:002012-12-02T03:37:39.314-08:00Materi Pembelajaran LingkaranDalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_Euklid" title="Geometri Euklid">geometri Euklid</a>, sebuah <strong class="selflink">lingkaran</strong> adalah himpunan semua <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik" title="Titik">titik</a> pada <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang&action=edit&redlink=1" title="Bidang (halaman belum tersedia)">bidang</a> dalam jarak tertentu, yang disebut <b>jari-jari</b>, dari suatu titik tertentu, yang disebut <b>pusat</b>. Lingkaran adalah contoh dari <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurva_tertutup_sederhana&action=edit&redlink=1" title="Kurva tertutup sederhana (halaman belum tersedia)">kurva tertutup sederhana</a>, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Elemen_lingkaran">Elemen lingkaran</span></h2>
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :<br />
<ul>
<li>Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
<ol>
<li><b>Titik pusat</b> (<b>P</b>)<br />
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.</li>
</ol>
</li>
</ul>
<ul>
<li>Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
<ol>
<li><b>Jari-jari</b> (<b>R</b>)<br />
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.</li>
<li><b>Tali busur</b> (<b>TB</b>)<br />
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.</li>
<li><b>Busur</b> (<b>B</b>)<br />
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.</li>
<li><b>Keliling lingkaran</b> (<b>K</b>)<br />
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.</li>
<li><b>Diameter</b> (<b>D</b>)<br />
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.</li>
<li><b>Apotema</b><br />
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.</li>
</ol>
</li>
</ul>
<ul>
<li>Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
<ol>
<li><b>Juring</b> (<b>J</b>)<br />
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.</li>
<li><b>Tembereng</b> (<b>T</b>)<br />
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.</li>
<li><b>Cakram</b> (<b>C</b>)<br />
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu
jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.</li>
</ol>
</li>
</ul>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Persamaan">Persamaan</span></h2>
Suatu lingkaran memiliki persamaan<br />
<dl><dd><img alt="(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/0/4/2046824bc8b8375f8e7309f5fa3a6e94.png" /></dd></dl>
dengan <img alt="R\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/7/2/772b94581a36ba6f0b59997175e44424.png" /> adalah jari-jari lingkaran dan <img alt="(x_0,y_0)\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/f/0/df09b2c4e9f83a17b4795f9d491e1429.png" /> adalah koordinat pusat lingkaran.<br />
Jika pusat lingkaran terdapat di <img alt="(0,0) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/0/8/408c5e156c5d666550a9246a135de6e6.png" />, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai<br />
<dl><dd><img alt="x^2 + y^2 = R^2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/4/2/3421ac886e6db2c28817bc3087e5670c.png" /></dd></dl>
Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk<br />
<dl><dd><img alt="x^2 + Ax + y^2 + By + C = 0 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/7/e/57e8a7b63b765b0d1775715886ea69b9.png" /></dd></dl>
dengan <img alt="\sqrt{\frac{A^2 + B^2}{4} - C} \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/f/1/1f1eb1651f2b16e3fa18f491e386386f.png" /> adalah jari-jari lingkaran dan <img alt="(- \frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/8/c/38cd4f00d351bd1ac9d2f8f1077cc0cc.png" /> adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Persamaan_parametrik">Persamaan parametrik</span></h3>
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_parameterik&action=edit&redlink=1" title="Persamaan parameterik (halaman belum tersedia)">persamaan parameterik</a>, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="x = x_0 + R \cos(t) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/54826d051d025f3d9e6663b88cba6709.png" /></dd><dd><img alt="y = y_0 + R \sin(t) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/e/0/7e027b628c6812f0152c45283ba0219e.png" /></dd></dl>
yang apabila dibiarkan menjalani <i>t</i> akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang <i>x-y</i>.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Luas_lingkaran">Luas lingkaran</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 152px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Circle_Area.svg&filetimestamp=20060509161537"><img alt="" class="thumbimage" height="150" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Circle_Area.svg/150px-Circle_Area.svg.png" width="150" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Circle_Area.svg&filetimestamp=20060509161537" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf4/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Luas lingkaran</div>
</div>
</div>
Luas lingkaran memiliki rumus<br />
<dl><dd><img alt="A = \pi R^2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/8/9489b4c031b9fd2b0767bd092caecf60.png" /></dd></dl>
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran<br />
<dl><dd><img alt="dA = rd\theta\ dr" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/c/e/4ce36454b42e02da88cc5dcc16828646.png" /></dd></dl>
dalam koordinat polar, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr
= \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta
= \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/0/0/3005c83ab038143b17653f5a2908d37b.png" /></dd></dl>
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran,
seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak
ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari
dalam <img alt="R_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/e/a/5ea970b98ac2c8bbf809010389dcffb2.png" /> dan jari-jari luar <img alt="R_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/2/642cd15f8d5f87a82252b84c7af67cf2.png" />.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Penjumlahan_elemen_juring">Penjumlahan elemen juring</span></h3>
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Area_of_a_circle.svg&filetimestamp=20060624103440"><img alt="Area of a circle.svg" height="255" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Area_of_a_circle.svg/600px-Area_of_a_circle.svg.png" width="600" /></a><br />
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai
elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi
sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam
gambar <i>r</i> berarti sama dengan <i>R</i> yaitu jari-jari lingkaran.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_juring">Luas juring</span></h3>
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari <i>R</i> dan <i>θ</i>, yaitu;<br />
<dl><dd><img alt="A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/d/c/fdc6d519b601c233658f7f6d0685ca8c.png" /></dd></dl>
dengan batasan nilai <i>θ</i> adalah antara <i>0</i> dan <i>2π</i>. Saat <i>θ</i> bernilai <i>2π</i>, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_cincin_lingkaran">Luas cincin lingkaran</span></h3>
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam <img alt="R_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/e/a/5ea970b98ac2c8bbf809010389dcffb2.png" /> dan jari-jari luar <img alt="R_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/2/642cd15f8d5f87a82252b84c7af67cf2.png" />, yaitu<br />
<dl><dd><img alt="A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/c/08c8c52c5839610d16508cb677331b94.png" /></dd></dl>
di mana untuk <img alt="R_1 = 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/6/4/d64a85b8d45d1bec14814aa945d6dfda.png" /> rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Luas_potongan_cincin_lingkaran">Luas potongan cincin lingkaran</span></h3>
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh<br />
<dl><dd><img alt="A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/6/7/0677ad5b75affd01a061d5bf88030af3.png" /></dd></dl>
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Keliling_lingkaran">Keliling lingkaran</span></h2>
Keliling lingkaran memiliki rumus:<br />
<dl><dd><img alt="K = 2\pi R\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/1/3c164ee2a6afdb5ad3f00e9677f87e91.png" /></dd></dl>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Panjang_busur_lingkaran">Panjang busur lingkaran</span></h3>
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus<br />
<dl><dd><img alt="L = R \theta \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/f/8/5f8c2d38aa03ac0c9f5e6b6bf1c3ba2f.png" /></dd></dl>
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva<br />
<dl><dd><img alt="dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/7/4/9748fe16352698e82a6fa1491b1b5f14.png" /></dd></dl>
di mana digunakan<br />
<dl><dd><img alt="y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/1/c41117cee4f2d3bc7960a4b9de327859.png" /></dd></dl>
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda <img alt="\pm" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/7/2/5722e2f6169308b8be3542900c6d6553.png" />
mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan
bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga
sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CF.80.28Pi.29">π(Pi)</span></h2>
Nilai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi">pi</a> adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling <i>K</i> dengan diameternya <i>D</i>:<br />
<dl><dd></dd><dd></dd><dd></dd><dd><img alt=" \pi = \frac K D" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/7/ca7daed8c3a4b735536a93ad1f38da02.png" /><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Lingkaran.png"><img alt="Berkas:Lingkaran.png" height="599" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Lingkaran.png/151px-Lingkaran.png" width="151" /></a></dd></dl>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-58741381440138995352012-12-02T03:31:00.003-08:002012-12-02T03:31:52.242-08:00Materi Pembelajaran Persamaan Kuadrat<b>Persamaan kuadrat</b> adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah<br />
<img alt="y = ax^2 + bx + c \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/a/c/aacfbb3ecf3a92ea6f732759967f8022.png" /><br />
dengan<br />
<img alt="a \ne 0 \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/f/eaf87ef2fcdf1a88f8af21ff439a9769.png" /><br />
Huruf-huruf <i>a</i>, <i>b</i> dan <i>c</i> disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat <i>a</i> adalah koefisien dari <img alt="x^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/6/c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png" />, koefisien linier <i>b</i> adalah koefisien dari <i>x</i>, dan <i>c</i> adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Arti_nilai_a.2C_b.2C_dan_c">rti nilai a, b, dan c</span></h2>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 202px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-a.png"><img alt="" class="thumbimage" height="200" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/a/a3/Kuadrat-a.png/200px-Kuadrat-a.png" width="200" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-a.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Variasi nilai a</div>
</div>
</div>
</td>
<td>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 202px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-b.png"><img alt="" class="thumbimage" height="200" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/f/f1/Kuadrat-b.png/200px-Kuadrat-b.png" width="200" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-b.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Variasi nilai b</div>
</div>
</div>
</td>
<td>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 202px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-c.png"><img alt="" class="thumbimage" height="200" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/4/48/Kuadrat-c.png/200px-Kuadrat-c.png" width="200" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-c.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Variasi nilai c</div>
</div>
</div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
Nilai-nilai <i>a</i>, <i>b</i> dan <i>c</i> menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang <i>xy</i>.<br />
<ul>
<li><i>a</i> menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai <i>a > 0</i> akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai <i>a < 0</i> akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.</li>
<li><i>b</i> menentukan kira-kira posisi <i>x</i> puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah <i>-b/2a</i>.</li>
<li><i>c</i> menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu <i>y</i> atau saat <i>x = 0</i>.</li>
</ul>
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai <i>a</i>. <i>b</i> dan <i>c</i> dapat dilihat pada gambar di di atas.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Rumus_Kuadratis_.28Rumus_abc.29">Rumus Kuadratis (Rumus abc)</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 302px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-akar.png"><img alt="" class="thumbimage" height="300" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/id/thumb/d/d5/Kuadrat-akar.png/300px-Kuadrat-akar.png" width="300" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Kuadrat-akar.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)</div>
</div>
</div>
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama '<i>rumus abc</i> karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai <i>a</i>, <i>b</i> dan <i>c</i> suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk<br />
<img alt="x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/b/2/5b2af7493f57bb0ff40d0113763aa427.png" /><br />
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa<br />
<img alt="y = 0 \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/b/33b19683067a9c2218a5083548d1fa36.png" />.<br />
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk<br />
<img alt="y = ax^2 + bx + c \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/a/c/aacfbb3ecf3a92ea6f732759967f8022.png" /><br />
dapat dituliskan menjadi<br />
<img alt="y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/a/19ae151b40243243f9af2627a1cd747d.png" />.<br />
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu<br />
<img alt="x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/f/b2f0bd751ee3e524216cc8973aceb144.png" /><br />
dan<br />
<img alt="x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/3/9/0393ba9afb86a0190c3260373d72582a.png" />.<br />
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Pembuktian_rumus_kuadrat">Pembuktian rumus kuadrat</span></h2>
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,<br />
<dl><dd><img alt="ax^2 + bx + c = 0 \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/6/fc6366dd1fd484528b085dff42ba1027.png" /></dd></dl>
bagi kedua ruas untuk mendapatkan <img alt="a = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/8/7/3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png" /><br />
<dl><dd><img alt="x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fed9229c07a2e81cb7817be3110fd9ae.png" /></dd></dl>
Pindahkan <img alt="\frac{c}{a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/e/4/be43e9674e32963908d9fb85ef7ad45f.png" /> ke ruas kanan<br />
<dl><dd><img alt="x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/1/f/21fe439eac5d9f27c7856faa59cf3a35.png" /></dd></dl>
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.<br />
<dl><dd><img alt="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/5/b/45ba35dd2046dbc306d33dd570bc271b.png" /></dd></dl>
Pindahkan <img alt="-\frac{b^2}{4ac}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/1/ca17466c1672084dba1931d96c098851.png" /> ke ruas kanan<br />
<dl><dd><img alt="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/f/eff4c2adc1eb4a5590fc62f575304774.png" /></dd></dl>
lalu samakan penyebut di ruas kanan.<br />
<dl><dd><img alt="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/b/d5bce4f400d473d6bd111f43c6d88794.png" /></dd></dl>
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di
ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.<br />
<dl><dd><img alt="x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/7/8/878ecd4a1dc3e528495b37b71f14b685.png" /></dd></dl>
Pindahkan <img alt="-\frac{b}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/6/7f6e9cbd2c8ed0a1f86ad9903aea2495.png" /> ke ruas kanan<br />
<dl><dd><img alt="x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/2/0c20818f0c849bc0d08fc6be61adf4b3.png" /></dd></dl>
sehingga didapat rumus kuadrat<br />
<dl><dd><img alt="x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/d/d3de090eec1b5d13516a6fa6d8ed49b6.png" /></dd></dl>
<h2>
<span class="mw-headline" id="Diskriminan.2Fdeterminan">Diskriminan/determinan</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 222px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Diskriminan.png"><img alt="" class="thumbimage" height="235" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Diskriminan.png/220px-Diskriminan.png" width="220" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Diskriminan.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Akar-akar dan nilai D.</div>
</div>
</div>
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:<br />
<dl><dd><img alt=" b^2 - 4ac,\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/5/4/8540ea83866cfcf6be5de9a52cdeb16a.png" /></dd></dl>
yang disebut sebagai <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskriminan&action=edit&redlink=1" title="Diskriminan (halaman belum tersedia)">diskriminan</a></i> atau juga sering disebut <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinan&action=edit&redlink=1" title="Determinan (halaman belum tersedia)">determinan</a></i> suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf <i>D</i>.<br />
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien <i>riil</i> dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Akar" title="Akar">akar</a> yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" title="Bilangan riil">bilangan riil</a> atau <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">kompleks</a>. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:<br />
<ul>
<li>Jika diskriminan bersifat <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Positif&action=edit&redlink=1" title="Positif (halaman belum tersedia)">positif</a>, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat">bilangan bulat</a>, apabila diskriminan merupakan suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuadrat_sempurna&action=edit&redlink=1" title="Kuadrat sempurna (halaman belum tersedia)">kuadrat sempurna</a>, maka akar-akarnya merupakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional">bilangan rasional</a> -- sebaliknya dapat pula merupakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_irrasional_kuadrat&action=edit&redlink=1" title="Bilangan irrasional kuadrat (halaman belum tersedia)">bilangan irrasional kuadrat</a>.</li>
</ul>
<ul>
<li>Jika diskriminan bernilai <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Nol" title="Nol">nol</a>, terdapat <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Eksak&action=edit&redlink=1" title="Eksak (halaman belum tersedia)">eksak</a> satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_ganda&action=edit&redlink=1" title="Akar ganda (halaman belum tersedia)">akar ganda</a>, di mana nilainya adalah:</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="x = -\frac{b}{2a}.\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/4/2544ad530b736eb9db982b4748ec3c9c.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<ul>
<li>Jika diskriminan bernilai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Negatif&action=edit&redlink=1" title="Negatif (halaman belum tersedia)">negatif</a>, <i>tidak</i> terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjugat_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Konjugat kompleks (halaman belum tersedia)">konjugat kompleks</a>:</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd>
<table>
<tbody>
<tr>
<td><img alt="x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/1/6/3165782b3daab0093a48ae3b2088354b.png" /></td>
<td style="text-align: center; width: 100px;">dan</td>
<td><img alt="x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/6/096d1cca6ff5e7fc866d3ae083fd022a.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
</dd></dl>
</dd></dl>
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tidak_sama_dengan_nol&action=edit&redlink=1" title="Tidak sama dengan nol (halaman belum tersedia)">tidak sama dengan nol</a>, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tidak_negatif&action=edit&redlink=1" title="Tidak negatif (halaman belum tersedia)">tidak negatif</a>.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Akar_riil_dan_kompleks">Akar riil dan kompleks</span></h2>
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua
buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau
kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan
kuadrat dapat pula dipandang sebagai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_potong&action=edit&redlink=1" title="Titik potong (halaman belum tersedia)">titik potongnya</a> dengan sumbu <i>x</i> atau garis <i>y = 0</i>.<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Titik_potong_dengan_garis_y_.3D_d">Titik potong dengan garis <i>y = d</i></span></h3>
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan
apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan
kuadrat (<img alt="y_1 = ax^2 + bx + c\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/1/da1fe9156883a5c90721b7c889368e64.png" />) dengan suatu garis mendatar (<img alt="y_2 = d\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/3/553cb5d3e56cdc92e9e091268970c304.png" />).
Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut
dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan
menyamakannya dengan nol.<br />
<img alt="
\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/b/0/4b0f49a83951285e5e2f3882fe6cb46d.png" /><br />
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:<br />
<ul>
<li>diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara <img alt="y_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/4/1841e7d87a66206d8ed6b539fb75fca4.png" /> dan <img alt="y_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/7/1/37171d37ddaaec8ab8031e005200958e.png" />,</li>
<li>diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara <img alt="y_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/4/1841e7d87a66206d8ed6b539fb75fca4.png" /> dan <img alt="y_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/7/1/37171d37ddaaec8ab8031e005200958e.png" />, dan</li>
<li>diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, <img alt="y_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/4/1841e7d87a66206d8ed6b539fb75fca4.png" /> dan <img alt="y_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/7/1/37171d37ddaaec8ab8031e005200958e.png" />.</li>
</ul>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Nilai-nilai_y">Nilai-nilai <i>y</i></span></h3>
Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang <i>x</i> di mana nilai-nilai <i>y</i> berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat <i>a</i>:<br />
<table class="wikitable" style="text-align: center;">
<caption><b>Harga-harga <i>y</i></b></caption>
<tbody>
<tr>
<td rowspan="2"><br /></td>
<td colspan="3"><img alt="a > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/b/2db34ef986af8044b82011853f9c9e00.png" /></td>
<td colspan="3"><img alt="a < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/a/f/aafcf228eaee1556dd650e1970b6470f.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="x < x_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/e/25ef85ff75c20461f185caf6864d2881.png" /></td>
<td><img alt="x_1 < x < x_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/2/9/0294d096ca72f3f97d7e3e20469e5113.png" /></td>
<td><img alt="x > x_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/5/c95ab48a44799b33bb6a0522a7102b50.png" /></td>
<td><img alt="x < x_1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/e/25ef85ff75c20461f185caf6864d2881.png" /></td>
<td><img alt="x_1 < x < x_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/2/9/0294d096ca72f3f97d7e3e20469e5113.png" /></td>
<td><img alt="x > x_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/5/c95ab48a44799b33bb6a0522a7102b50.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="D > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/e/d/eed692b3fedb8427ef1121292efd12c0.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="D = 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/6/f3677b8b2420f621fd4d6918b93d18aa.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="-\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/3/fc32c33cd4a8395589a0906bb5f385f7.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
<td><img alt="-\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/3/fc32c33cd4a8395589a0906bb5f385f7.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
</tr>
<tr>
<td><img alt="D < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/548dc7f4514590a1ce43fcc1b5f28419.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="-\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/3/fc32c33cd4a8395589a0906bb5f385f7.png" /></td>
<td><img alt="y > 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef2dcc3ed637ecd45efc785f5e16ac1f.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
<td><img alt="-\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/3/fc32c33cd4a8395589a0906bb5f385f7.png" /></td>
<td><img alt="y < 0\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c69c943647be748dbe13b4302e5941ab.png" /></td>
</tr>
</tbody></table>
dengan <img alt="x_1 < x_2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/4/8/048e47341ade7153257cc8dee7ac2c9b.png" /> merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila <img alt="x, x_1, x_2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/0/d/e0d539e1d2455d47dabfa5964873fe18.png" /> bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah <img alt="\Re\ x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/5/4a553a78219c7e3833f667516b90913b.png" /> (nilai riil)-nya.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Geometri">Geometri</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width: 202px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Polynomialdeg2.png"><img alt="" class="thumbimage" height="154" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Polynomialdeg2.png/200px-Polynomialdeg2.png" width="200" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Polynomialdeg2.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Untuk <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kuadrat" title="Fungsi kuadrat">fungsi kuadrat</a>:<br />
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>2</sup> − <i>x</i> − 2 = (<i>x</i> + 1)(<i>x</i> − 2), dengan variabel <i>x</i> adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" title="Bilangan riil">bilangan riil</a>. <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat" title="Koordinat">koordinat</a>-<i>x</i> dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-<i>x</i>, <i>x</i> = −1 dan <i>x</i> = 2, adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Akar" title="Akar">akar-akar</a> dari persamaan kuadrat : <i>x</i><sup>2</sup> − <i>x</i> − 2 = 0.</div>
</div>
</div>
Akar-akar dari persamaan kuadrat<br />
<dl><dd><img alt="ax^2+bx+c=0,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/c/1/1c110885bd9155bea6b6630e7d24d6c4.png" /></dd></dl>
adalah juga <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuat_nol&action=edit&redlink=1" title="Pembuat nol (halaman belum tersedia)">pembuat nol</a> dari fungsi kuadrat tersebut:<br />
<dl><dd><img alt="f(x) = ax^2+bx+c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/f/bcf96db954fc7c49c749ae82f5fd64cc.png" /></dd></dl>
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai <img alt="x\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/7/6373accf16c083723e8abae2f5401af2.png" /> yang memberikan<br />
<dl><dd><img alt="f(x) = 0.\, " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/2/0/02056ecc35ad1b6df7c978975fbf392c.png" /></dd></dl>
Jika <i>a</i>, <i>b</i>, dan <i>c</i> adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" title="Bilangan riil">bilangan riil</a>, dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Domain" title="Domain">domain</a> dari <img alt="f\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/c/4/ec4e9dfbb8e117197c3d4727c19b1a62.png" /> adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari <img alt="f\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/c/4/ec4e9dfbb8e117197c3d4727c19b1a62.png" /> adalah eksak <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat" title="Koordinat">koordinat</a>-<i>x</i> di saat titik-titik tersebut menyentuh <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sumbu-x&action=edit&redlink=1" title="Sumbu-x (halaman belum tersedia)">sumbu-x</a>.<br />
Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kurva" title="Kurva">kurva</a> persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_potong&action=edit&redlink=1" title="Titik potong (halaman belum tersedia)">titik potong</a>), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.<br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-50752778844439870772012-12-02T03:27:00.002-08:002012-12-02T03:27:27.450-08:00Materi Pembelajran Turunan Fungsi<h2>
<span class="mw-headline" id="Aturan_menentukan_turunan_fungsi">Aturan menentukan turunan fungsi</span></h2>
Turunan dapat ditentukan tanpa proses <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Limit" style="color: black;" title="Limit">limit</a>. Untuk keperluan ini dirancang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" style="color: black;" title="Teorema">teorema</a>
tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi,
aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi
invers]].<br />
<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Turunan_dasar">Turunan dasar</span></h3>
Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah <br />
<ol>
<li>f(x), maka f'(x) = 0</li>
<li>Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1</li>
<li>Aturan pangkat : Jika f(x) = x<sup>n</sup>, maka f’(x) = n X <sup>n – 1</sup></li>
<li>Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)</li>
<li>Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))</li>
</ol>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Turunan_jumlah.2C_selisih.2C_hasil_kali.2C_dan_hasil_bagi_dua_fungsi">Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi</span></h3>
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f
+ g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I
dengan aturan :<br />
<ol>
<li>( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)</li>
<li>( f – g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)</li>
<li>(fg)’ (x) = f (x) g’(x) + g’(x) f(x)</li>
<li>((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)<sup>2</sup>)</li>
</ol>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Turunan_fungsi_trigonometri">Turunan fungsi trigonometri</span></h3>
<ol>
<li>d/dx ( sin x ) = cos x</li>
<li>d/dx ( cos x ) = - sin x</li>
<li>d/dx ( tan x ) = sec<sup>2</sup> x</li>
<li>d/dx ( cot x ) = - csc<sup>2</sup> x</li>
<li>d/dx ( sec x ) = sec x tan x</li>
<li>d/dx ( csc x ) = -csc x cot x</li>
</ol>
<h3>
<span class="mw-headline" id="Turunan_fungsi_invers">Turunan fungsi invers</span></h3>
(f<sup>-1</sup>)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)<h2>
<span class="mw-headline" id="Aturan_menentukan_turunan_fungsi"> </span></h2>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-51084072622183395602012-12-02T03:23:00.001-08:002012-12-02T03:23:10.562-08:00Materi Pembelajaran Diferensial Biasa dan Parsial<b>Persamaan diferensial biasa</b> adalah persamaan diferensial di
mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari
variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak
diketahui ini adalah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_riil&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Fungsi riil (halaman belum tersedia)">fungsi riil</a><span style="color: black;"> atau </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_kompleks&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Fungsi kompleks (halaman belum tersedia)">fungsi kompleks</a>,
namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih
jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde
tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam
persamaan tersebut.<br />
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial<br />
<dl><dd><img alt="m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t)),\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/2/0d2f6c56093268f295f6674dca4560d0.png" /></dd></dl>
untuk gerakan partikel dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Massa" style="color: black;" title="Massa">massa</a><span style="color: black;"> konstan </span><i style="color: black;">m</i><span style="color: black;">. Pada umumnya, </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gaya" style="color: black;" title="Gaya">gaya</a> <i>F</i> tergantung kepada posisi partikel <i>x(t)</i> pada waktu <i>t</i>, dan demikian fungsi yang tidak diketahui <i>x(t)</i> muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi <i>F</i>(<i>x</i>(<i>t</i>)).<br />
Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_parsial" style="color: black;" title="Persamaan diferensial parsial">persamaan diferensial parsial</a><span style="color: black;">, yang melibatkan </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_parsial" style="color: black;" title="Turunan parsial">turunan parsial</a><span style="color: black;"> dari beberapa variabel.</span><br />
Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" style="color: black;" title="Geometri">geometri</a><span style="color: black;">, </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika" style="color: black;" title="Mekanika">mekanika</a><span style="color: black;">, </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" style="color: black;" title="Astronomi">astronomi</a> dan pemodelan populasi. Banyak <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" style="color: black;" title="Matematikawan">matematikawan</a><span style="color: black;"> ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" style="color: black;" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a><span style="color: black;">, </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz" style="color: black;" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a><span style="color: black;">, keluarga Bernoulli, </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Riccati&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Riccati (halaman belum tersedia)">Riccati</a><span style="color: black;">, </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Alexis_Claude_Clairaut&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Alexis Claude Clairaut (halaman belum tersedia)">Clairaut</a><span style="color: black;">, </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=D%27Alembert&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="D'Alembert (halaman belum tersedia)">d'Alembert</a><span style="color: black;"> dan </span><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euler" style="color: black;" title="Euler">Euler</a><span style="color: black;">.</span><br />
Dalam kasus persamaan tersebut <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformasi_linier&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Transformasi linier (halaman belum tersedia)">linier</a>,
persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik.
Malangnya, kebanyakan persamaan diferensial nonlinier, dan kecuali
sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran
dapat dicapai menggunakan komputer.<br />
<br />
<br />
<br />
<b>Persamaan diferensial parsial</b> (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Diferensial_parsial" title="Diferensial parsial">diferensial parsial</a>, yang dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a> diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi">fungsi</a> yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Variabel_bebas&action=edit&redlink=1" title="Variabel bebas (halaman belum tersedia)">variabel bebas</a>,
dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP
digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang
melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk
oleh beberapa variabel, seperti penjalaran <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Suara" title="Suara">suara</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Panas" title="Panas">panas</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elektrostatika" title="Elektrostatika">elektrostatika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elektrodinamika" title="Elektrodinamika">elektrodinamika</a>, aliran <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fluida" title="Fluida">fluida</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elastisitas" title="Elastisitas">elastisitas</a>, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a>, atau terdistribusi dalam ruang dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu" title="Waktu">waktu</a>. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Formulasi&action=edit&redlink=1" title="Formulasi (halaman belum tersedia)">formulasi</a> matematika yang mirip satu sama lain.<br />
<h2>
<span class="mw-headline" id="Pengantar">Pengantar</span></h2>
Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{\part u}{\part x}=0\, " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/3/943e643da1fecb9fc91f1cdf106f64ca.png" /></dd></dl>
di mana <i>u</i> suatu fungsi tak diketahui dari <i>x</i> dan <i>y</i>. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai <i>u</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) adalah tidak bergantung dari <i>x</i>. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah<br />
<dl><dd><img alt="u(x,y) = f(y),\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/b/0/cb0546d82bc4b78dfde49493e016ae61.png" /></dd></dl>
di mana <i>f</i> adalah suatu fungsi sembarang dari variabel <i>y</i>. Analogi dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasa" title="Persamaan diferensial biasa">persamaan diferensial biasa</a> untuk persamaan ini adalah<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{du}{dx}=0\, " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/7/d37968bb5e5bdecea718e9c2e7965abc.png" /></dd></dl>
yang memiliki solusi<br />
<dl><dd><img alt="u(x) = c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/7/c/47c1072ad233517fa2cd4c7d13bf46c5.png" /></dd></dl>
di mana <i>c</i> bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai <i>x</i>).
Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan
diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi
solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi
sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum
tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Syarat_batas&action=edit&redlink=1" title="Syarat batas (halaman belum tersedia)">syarat batas</a> dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi <img alt="\!f(y)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/3/f635b972fc952d7724ea274ff12dcf41.png" /> dapat ditentukan jika <img alt="\!u" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/d/b/ddb1d7348461c91e3f8b332f8036878a.png" /> dispesifikasikan pada sebuah garis <img alt="\!x=0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/2/a/d2ab543e724bc7cb4ddb49f03122a9fb.png" />.<br />
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-536964170980678535.post-26159002825181855502012-12-02T03:18:00.001-08:002012-12-02T03:18:19.866-08:00Materi Limit Fungsi<div style="color: #444444;">
<b>Limit</b> suatu <b style="color: black;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" style="color: black;" title="Fungsi (matematika)">fungsi</a> </b><span style="color: black;">merupakan salah satu konsep mendasar dalam </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" style="color: black;" title="Kalkulus">kalkulus</a><span style="color: black;"> dan </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika" style="color: black;" title="Analisis matematika">analisis</a><span style="color: black;">, </span>tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.</div>
<div style="color: #444444;">
Suatu fungsi memetakan keluaran <i>f(x)</i> untuk setiap masukan <i>x</i>. Fungsi tersebut memiliki limit <i>L</i> pada titik masukan <i>p</i> bila <i>f(x)</i> "dekat" pada L ketika <i>x</i> dekat pada <i>p</i>. Dengan kata lain, <i>f(x)</i> menjadi semakin dekat kepada <i>L</i> ketika <i>x</i> juga mendekat menuju <i>p</i>. Lebih jauh lagi, bila <i>f</i> diterapkan pada tiap masukan yang <i>cukup</i> dekat pada <i>p</i>, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan <i>L</i>. Bila masukan yang <i>dekat</i> pada <i>p</i> ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi <i>f</i> dikatakan tidak memiliki limit.</div>
<div style="color: #444444;">
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.</div>
<table class="toc" id="toc" style="color: #444444;">
<tbody>
<tr>
<td><br /></td></tr>
</tbody></table>
<h2 style="color: #444444;">
<span class="mw-headline" id="Definisi">Definisi</span></h2>
<div style="color: #444444;">
Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.</div>
<h3 style="color: #444444;">
<span class="mw-headline" id="Fungsi_pada_garis_bilangan_riil">Fungsi pada garis <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" style="color: black;" title="Bilangan riil">bilangan riil</a></span></h3>
<div style="color: #444444;">
Bila <i>f</i> : <b>R</b> <img alt="\rightarrow" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/3/e/83e37b7246fdfcb99b2754210ebeae27.png" /> <b>R</b> terdefinisi pada garis <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" style="color: black;" title="Bilangan riil">bilangan riil</a><span style="color: black;">,</span> dan <i>p, L</i> <img alt="\in" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/c/2/8c20c78b364ed5dbadd49e5b997aa1cc.png" /> <b>R</b> maka kita menyebut <b>limit <i>f</i> ketika <i>x</i> mendekati <i>p</i> adalah <i>L</i></b>, yang ditulis sebagai:</div>
<dl style="color: #444444;"><dd><img alt=" \lim_{x \to p}f(x) = L " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/7/e879d1b2b7a9e19d16438c24fb8a7990.png" /></dd></dl>
<div style="color: #444444;">
<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jika_dan_hanya_jika&action=edit&redlink=1" style="color: black;" title="Jika dan hanya jika (halaman belum tersedia)">jika dan hanya jika</a><span style="color: black;"> </span>untuk setiap <i>ε</i> > <i>0</i> terdapat <i>δ</i> > <i>0</i> sehingga |<i>x</i> - <i>p</i>|< <i>δ</i> mengimplikasikan bahwa |<i>f</i> (<i>x</i>) - <i>L</i> | < <i>ε</i> . Di sini, baik <i>ε</i> maupun <i>δ</i> merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai <i>f</i> (<i>p</i>)</div>
<h3 style="color: #444444;">
<span class="mw-headline" id="Limit_searah">Limit searah</span></h3>
<div class="thumb tright" style="color: #444444;">
<div class="thumbinner" style="width: 216px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Upper_semi.png&filetimestamp=20060319203817"><img alt="" class="thumbimage" height="153" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f0/Upper_semi.png" style="color: black;" width="214" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Upper_semi.png&filetimestamp=20060319203817" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Limit saat: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Maka, limit x → x<sub>0</sub> tidak ada.</div>
</div>
</div>
<div style="color: #444444;">
Masukan <i>x</i> dapat mendekati <i>p</i> dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai</div>
<div style="color: #444444;">
<br /></div>
<dl style="color: #444444;"><dd><img alt=" \lim_{x \to p^+}f(x) = L " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/e/6/9e60501903098ab11dce2114ed0c6f68.png" /></dd></dl>
<div style="color: #444444;">
atau</div>
<dl style="color: #444444;"><dd><img alt=" \lim_{x \to p^-}f(x) = L " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/3/553f32f67b330e021dc85065574203d3.png" /></dd></dl>
<div style="color: #444444;">
Bila kedua limit ini sama nilainya dengan <i>L</i>, maka <i>L</i> dapat diacu sebagai <b>limit <i>f(x)</i> pada <i>p</i></b> . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan <i>L</i>, maka limit <i>f(x)</i> pada <i>p</i> tidak ada.</div>
<div style="color: #444444;">
Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit <i>f</i>(<i>x</i>) saat <i>x</i> mendekati <i>p</i> dari atas adalah <i>L</i> bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |<i>f</i>(<i>x</i>) - L| < ε pada saat 0 < <i>x</i> - <i>p</i> < δ. Limit <i>f</i>(<i>x</i>) saat <i>x</i> mendekati <i>p</i> dari bawah adalah <i>L</i> bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |<i>f</i>(<i>x</i>) - L| < ε bilamana 0 < <i>p</i> - <i>x</i> < δ.</div>
<div style="color: #444444;">
Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.</div>
<h3 style="color: #444444;">
<span class="mw-headline" id="Limit_fungsi_pada_ketakhinggaan">Limit fungsi pada ketakhinggaan</span></h3>
<div class="thumb tright" style="color: #444444;">
<div class="thumbinner" style="width: 252px;">
<a class="image" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Limit-at-infinity-graph.png&filetimestamp=20060319153541"><img alt="" class="thumbimage" height="164" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Limit-at-infinity-graph.png/250px-Limit-at-infinity-graph.png" width="250" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify">
<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Limit-at-infinity-graph.png&filetimestamp=20060319153541" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>
Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.</div>
</div>
</div>
<div style="color: #444444;">
Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞},
ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit
fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan,
namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.</div>
<div style="color: #444444;">
Bila <i>f</i>(<i>x</i>) adalah fungsi riil, maka <b>limit <i>f</i> saat <i>x</i> mendekati tak hingga</b> adalah <i>L</i>, dilambangkan sebagai:</div>
<dl style="color: #444444;"><dd><img alt=" \lim_{x \to \infty}f(x) = L," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/7/bc7a9e000e2fdc0ecc9ece2486f51547.png" /></dd></dl>
<div style="color: #444444;">
jika dan hanya jika untuk semua <i>ε</i> > <i>0</i> terdapat <i>S</i> > 0 sedemikian rupa sehingga |<i>f</i> (<i>x</i>) - <i>L</i>| < <i>ε</i> bilamana <i>x > S</i>.</div>
<div style="color: #444444;">
Dengan cara yang sama, <b>limit <i>f</i> saat <i>x</i> mendekati tak hingga adalah tak hingga</b>, dilambangkan oleh</div>
<dl style="color: #444444;"><dd><img alt=" \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/7/b2772a8713e5252f758cdd74416461d7.png" /></dd></dl>
<div style="color: #444444;">
jika dan hanya jika bila untuk semua <i>R</i> > 0 terdapat <i>S</i> > sedemikian sehingga <i>f</i>(<i>x</i>) > <i>R</i> bilamana <i>x > S</i>.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/15515986692774712765noreply@blogger.com0